Effizienz zeigen < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Do 19.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Seien [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] unabhängig und identisch [mm] $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$-verteilte [/mm] Zufallsvariablen, [mm] $\mu$ [/mm] sei bekannt und [mm] $\sigma^2>0$ [/mm] unbekannt.
Ist [mm] $S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$ [/mm] eine effiziente Schätzfunktion für [mm] $\sigma^2$? [/mm] |
Hallo, was muss man zeigen?
Meines Wissens dieses hier:
[mm] $\operatorname{Var}_{\sigma^2}(S^2)=\frac{\left(\frac{\partial}{\partial\sigma^2}E_{\sigma^2}(S^2)\right)^2}{I(\sigma^2)}$
[/mm]
Dabei soll [mm] $I(\sigma^2)$ [/mm] die Fisherinfo bezeichnen.
Hab das also mal durchgerechnet und diese Identität stimmt:
Beide Gleichungsseiten sind nämlich
[mm] $\frac{2\sigma^4}{n}$.
[/mm]
Also ist [mm] $S^2$ [/mm] eine eff. Schätzfunktion für [mm] $\sigma^2$.
[/mm]
Meine Frage ist jetzt:
Muss ich noch was zeigen oder war es das?
MfG Dennis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Do 19.01.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Meine Frage ist jetzt:
>
> Muss ich noch was zeigen oder war es das?
>
>
Du musst noch die Erwartungstreue zeigen ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Do 19.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
Okay, wieso muss ich sie zeigen?
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Noch eine andere Frage, wenn Du erlaubst.
Und zwar zu dieser Aufgabe:
Seien [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] i.i.d. Zufallsvariablen mit [mm] $X_i\sim\operatorname{Gam}(\alpha,\beta)$, [/mm] d.h. die Dichten sind gegeben als
[mm] $f(x_i|\alpha,\beta)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}}x_i^{\alpha-1}\exp\left(\frac{-x_i}{\beta}\right), 0\leq x_i<\infty, \alpha,\beta>0$.
[/mm]
Dabei ist [mm] $\alpha$ [/mm] als bekannt vorausgesetzt.
Frage: Ist [mm] $\overline{X}$ [/mm] ein effizienter Schätzer für [mm] $\alpha\cdot\beta$?
[/mm]
Also ich habe da Probleme.
Wäre gefragt, ob [mm] $\overline{X}$ [/mm] ein effizienter Schätzer für [mm] $\beta$ [/mm] ist, wäre es nicht so schwer für mich.
Da würde ich wieder schauen, ob
[mm] $\operatorname{Var}\left(\overline{X}\right)=\frac{\left(\frac{\partial}{\partial\beta}E\left(\overline{X}\right)\right)^2}{I(\beta)}$ [/mm] gilt.
Das wäre m.E. nicht der Fall, da
[mm] $LHS=\frac{\alpha\beta}{n}$ [/mm] und
[mm] $RHS=\alpha\beta^3$.
[/mm]
Aber wie mache ich das für die Frage, ob [mm] $\overline{X}$ [/mm] effizienter Schätzer für [mm] $\alpha\beta$ [/mm] ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Do 19.01.2012 | | Autor: | luis52 |
> Okay, wieso muss ich sie zeigen?
Was nuetzt Varianzminimalitaet *ohne* Erwartungstreue? Nimm 0 als Schaetzer: Der ist auch varianzminimal.
> ----------------------------------
> Noch eine andere Frage, wenn Du erlaubst.
>
> Und zwar zu dieser Aufgabe:
>
> Seien [mm]X_1,...,X_n[/mm] i.i.d. Zufallsvariablen mit
> [mm]X_i\sim\operatorname{Gam}(\alpha,\beta)[/mm], d.h. die Dichten
> sind gegeben als
>
> [mm]f(x_i|\alpha,\beta)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}}x_i^{\alpha-1}\exp\left(\frac{-x_i}{\beta}\right), 0\leq x_i<\infty, \alpha,\beta>0[/mm].
>
> Dabei ist [mm]\alpha[/mm] als bekannt vorausgesetzt.
>
> Frage: Ist [mm]\overline{X}[/mm] ein effizienter Schätzer für
> [mm]\alpha\cdot\beta[/mm]?
Vielleicht wird die Chose einfacher, wenn du fuer das arithmetische Mittel der $ [mm] X_1/\alpha,...,X_n/\alpha [/mm] $ argumentierst.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Do 19.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
Mir ist noch nicht klar, wie Du den Hinweis meinst.
Also ich muss doch dieses zeigen:
[mm] $\operatorname{Var}(\overline{X})=\frac{\left(\frac{\partial}{\partial (\alpha\beta)}E_{\alpha\beta}(\overline{X}\right)^2}{I(\alpha\beta)}$?
[/mm]
Und was hilft es mir wenn ich das arithmet. Mittel der
[mm] $X_i/\alpha& [/mm] $ nehme?
Edit:
Achso, ist das so gemeint:
Ich kann genauso gut gucken, ob
[mm] $\frac{\overline{X}}{\alpha}$ [/mm] ein eiff. Schätzer für [mm] $\beta$ [/mm] ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Do 19.01.2012 | | Autor: | luis52 |
>
> Achso, ist das so gemeint:
>
> Ich kann genauso gut gucken, ob
>
> [mm]\frac{\overline{X}}{\alpha}[/mm] ein eiff. Schätzer für [mm]\beta[/mm]
> ist?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Do 19.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also: Ist $\frac{\overline{X}}{\alpha}$ ein eff. Schätzer für $\beta$?
Meine Antwort lautet: Nein!
Begründung:
$\operatorname{Var}\left(\frac{\overline{X}}{\alpha}\right)=\frac{1}{\alpha^2}\operatorname{Var}(\overline{X})=\frac{1}{\alpha^2}\cdot \alpha\cdot\beta^2=\frac{\beta^2}{\alpha}$
Andererseits gilt aber nach meiner Rechnung:
$\frac{\left(\frac{\partial}{\partial\beta}E\left(\frac{1}{\alpha}\overline{X}\right)\right)^2}{I(\beta)}}=\frac{1}{\frac{\alpha}{\beta^3}}=\frac{\beta^3}{\alpha}$
Falls das stimmt: Daraus folgt dann, daß $\overline{X}$ kein effizienter Schätzer für $\alpha\beta$ ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Do 19.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
Da mir das sehr komisch vorkam, habe ich nochmal sauber nachgerechnet und festgestellt, daß ich mich übelst verrechnet habe.
Nun habe ich heraus, daß [mm] $\frac{\overline{X}}{\alpha}$ [/mm] sehr wohl ein effizienter Schätzer für [mm] $\beta$ [/mm] ist!
Beide Gleichungsseiten sind nämlich [mm] $\frac{\beta^2}{\alpha n}$.
[/mm]
Zudem ist [mm] $\frac{\overline{X}}{\alpha}$ [/mm] auch erwartungstreu:
[mm] $E\left(\frac{\overline{X}}{\alpha}\right)=\frac{1}{\alpha}E(\overline{X})=\frac{\alpha\beta}{\alpha}=\beta$
[/mm]
Daraus folgt, daß [mm] $\overline{X}$ [/mm] ein effizienter Schätzer für [mm] $\alpha\cdot\beta$ [/mm] ist, korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Do 19.01.2012 | | Autor: | luis52 |
>
>
> Daraus folgt, daß [mm]\overline{X}[/mm] ein effizienter Schätzer
> für [mm]\alpha\cdot\beta[/mm] ist, korrekt?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Do 19.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
Das mit dem erwartungstreu verstehe ich dennoch nicht, denn wir hatten lediglich aufgeschrieben:
Falls es sich um einen erwartungstreuen Schätzer handelt, ist die Cramér-Rao-Schranke lediglich die inverse Fisher-Information.
Okay, das kann ich hier natürlich sehr gut verwenden, dann muss ich viel weniger rechnen.
Aber nirgends lese ich, daß ein Schätzer erwartungstreu sein MUSS (zusätzlich zu der Eigenschaft, daß die Varianz identisch mit der Cramér-Rao-Schranke ist), um effizient zu sein.
Auch bei Wikipedia lese ich nur, daß ein Schätzer dann effizient heißt, wenn die Varianz gleich der Cramér-Rao-Schranke ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Do 19.01.2012 | | Autor: | luis52 |
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> Aber nirgends lese ich, daß ein Schätzer erwartungstreu
> sein MUSS (zusätzlich zu der Eigenschaft, daß die Varianz
> identisch mit der Cramér-Rao-Schranke ist), um effizient
> zu sein.
>
Gut, kann sein. ich will da nicht streiten ...
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Do 19.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ich auch nicht. 
Im Gegenteil, ich danke Dir sehr für Deine Hilfe.
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