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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:38 Do 11.11.2010 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Eine Urne ist in 2 Hälften (links und rechts) eingeteilt. Am Anfang liegen l Kugeln links und r Kugeln rechts. Nun wird zufällig eine Kugel ausgewählt.
Stammt die Kugel aus der linken Hälfte, so werden c Kugeln aus der linken Hälfte in die rechte Hälfte gesteckt.
Stammt die Kugel aus der rechten Hälfte, so werden c Kugeln aus der rechten Hälfte in die linke Hälfte gesteckt.
Dieses Prinzip wird nun n mal durchgeführt.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach dem Ende des Experiments genau k Kugeln aus der linken Hälfte gezogen wurden? |
Hi!
Hier weiß ich leider nicht weiter. Wie das Zufallsexperiment abläuft ist ja klar, aber ich weiß überhaupt nicht, wie ich das Problem nun auseinandernehmen kann. Im Internet findet man immer nur Lösungen zur Frage: "Wie viele Kugeln sind nach n Durchgängen links?" und selbst für diese Frage, die meiner Meinung nach etwas einfacher zu beantworten sein sollte, werden für die Lösung oft Markowketten benutzt, die wir noch nicht eingeführt haben.
Mir stehen im Prinzip nur Kombinatorik und bedingte Wahrscheinlichkeiten zur Verfügung.
Kann mir bitte jemand einen Ansatz geben?
Also ich kann ja mal anfangen. Für n=1 gilt dann [mm] P(X=0)=\frac{r}{l+r} [/mm] und [mm] P(X=1)=\frac{l}{l+r}. [/mm] Doch schon ab n=2 wird die Sache um einiges schwieriger, denn es kann ja unter anderem sein, dass l<c oder r<c gilt. Dann werden stellenweise mal weniger als c Kugeln rumgeschoben, was ja auch mit in die gesuchte Wahrscheinlichkeit einfließt. Aber wie man das ordentlich verwerten kann, da bin ich ratlos.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Do 11.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
sind weniger als [mm]ic[/mm] auf einer Seite, so könntest du zum beispiel
[mm](l-ic)_+ = max((l-ic),0)[/mm]
denn die Wahrscheinlichkeit bei n=2 zwei auf der linken seite zu wählen muss null sein wenn am anfang weniger als c links liegen.
in deine Rechnung aufnehmen, oder du nimmst erst mal an, dass [mm]nc > l[/mm] und [mm]nc > r[/mm] dann kann es nicht passieren dass weniger als c verschoben werden.
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Do 11.11.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hm ja, aber das bringt mir dann glaube ich irgendwelche verschachtelten max(...)-Terme, die ich dann auch nicht mehr so gut handhaben kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Do 11.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
sei die Zufallsvariable X die Anzahl der aus der linken Seite gewählten ZV's und sei n=2.
[mm]\mathbf{P}[X=0]=\frac{r}{l+r}\frac{r-c}{l+r}[/mm]
[mm]\mathbf{P}[X=2]=\frac{l}{l+r}\frac{l-c}{l+r}[/mm]
[mm]\mathbf{P}[X=1]=\frac{l}{l+r}\frac{r+c}{l+r}+\frac{r}{l+r}\frac{l+c}{l+r}[/mm]
speziell [mm]\mathbf{P}[X=2][/mm] muss doch null sein, wenn am Anfang weniger als c Kugeln links waren, denn wenn im ersten Schritt eine linke gewählt wird und deshalb alle die links sind nach rechts geschoben werden, so ist die w'keit im zweiten Schritt eine linke zu wählen null!
Also:
[mm]\mathbf{P}[X=2]=\frac{l}{l+r}\frac{(l-c)_+}{l+r}[/mm]
mit
[mm](l-c)_+=max((l-c),0)[/mm]
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:59 Do 11.11.2010 | | Autor: | Teufel |
Hm, ich sehe gerade: Die Aufgabe will irgendwie, dass man die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass genau k Kugel von links nach rechts gebracht wurden.
Das heißt, dass ich für n=1 schon P(X=0), P(X=1), ..., P(X=c) berechnen müsste, da ich ja zwischen 0 und c Kugeln von links nach rechts in einem Versuch bringen kann, je nachdem, ob l<c ist oder nicht.
Für n=2 hätte man schon P(X=0), ..., P(X=2c).
Ich frage mich, ob die Aufgabe wirklich so gemeint ist, aber so steht sie da. :s
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(Frage) überfällig | | Datum: | 20:33 Do 11.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
sag mal, ist die Frage wie groß die W'keit ist dass k Kugeln von links nach rechts gebracht werden (so wie du in der Mitteilung geschrieben hast), oder dass k Kugeln auf der linken Seite gewählt werden (wie du in der Aufgabenbeschreibung stehen hast)?
viele grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Do 11.11.2010 | | Autor: | Teufel |
Ich meine mit beiden Sachen das gleiche. Soll heißen, dass ich also in jedem Durchgang 0 bis c neue Kugeln auf dem Konto verbuchen kann. Zumindest interpretiere ich die Aufgabe so. Habe ich also den Durchgang n mal gemacht, so könnte die Anzahl der Kugeln, die ich von links nach rechts bewegt habe, zwischen 0 und nc liegen.
Und wenn ich c Kugeln von links nach rechts packe, so können sie ja dann auch z.B. in einem späteren Zug wieder zurück nach links gelangen, und dann muss ich sie ja noch mal zählen, wenn ich sie wieder von links nach rechts packe.
Die Aufgabenstellung klingt zumindest danach.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Sa 13.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 19:09 Do 11.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
!war falsch!
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Do 11.11.2010 | | Autor: | vivo |
Sorry voll falsch!!!
dass passt ja gar nicht mit dem zusammen was ich gerade für den fall n=2 geschrieben habe!
SORRY
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Do 11.11.2010 | | Autor: | vivo |
Also jetzt nehmen wir mal $n=4$
[mm] $\mathbf{P}[X=0]=\frac{r}{l+r}\frac{r-c}{l+r}\frac{r-2c}{l+r}\frac{r-3c}{l+r}$
[/mm]
[mm] $\mathbf{P}[X=1]=\frac{r}{l+r}\frac{r-c}{l+r}\frac{r-2c}{l+r}\frac{l+3c}{l+r}+\frac{r}{l+r}\frac{r-c}{l+r}\frac{l+2c}{l+r}\frac{r-c}{l+r}+
[/mm]
[mm] \frac{r}{l+r}\frac{l+c}{l+r}\frac{r}{l+r}\frac{r-c}{l+r}+
[/mm]
[mm] \frac{l}{l+r}\frac{r+c}{l+r}\frac{r}{l+r}\frac{r-c}{l+r}$
[/mm]
$
[mm] $\mathbf{P}[X=2]=...$
[/mm]
[mm] $\mathbf{P}[X=3]=\frac{l}{l+r}\frac{l-c}{l+r}\frac{l-2c}{l+r}\frac{r+3c}{l+r}+\frac{l}{l+r}\frac{l-c}{l+r}\frac{r+2c}{l+r}\frac{l-c}{l+r}+
[/mm]
[mm] \frac{l}{l+r}\frac{r+c}{l+r}\frac{l}{l+r}\frac{l-c}{l+r}+
[/mm]
[mm] \frac{r}{l+r}\frac{l+c}{l+r}\frac{l}{l+r}\frac{l-c}{l+r}$
[/mm]
[mm] $\mathbf{P}[X=4]=\frac{l}{l+r}\frac{l-c}{l+r}\frac{l-2c}{l+r}\frac{l-3c}{l+r}$
[/mm]
jetzt müssen wir da irgendein muster erkennen auf jeden Fall hat die Summe immer
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] Summanden
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Do 11.11.2010 | | Autor: | Teufel |
Hmm ja, ich habe das ganz am Anfang auch probiert, aber irgendwie kein System erkannt. Aber nach der Frage ist ja eh etwas ganz anderes gesucht. Nämlich wie viele Kugeln man aus der linken Hälfte gezogen hat. Und das sind beim 1. Zug ja schon zwischen 0 und c...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:50 Do 11.11.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
dass würde also heißen z.B. k=1, geht eh nur für l=1 oder c=1
andererseits fordert man dass nc > l und nc > r dann können ja nur die Wahrscheinlichkeiten für ic, für i=0,..,n Kugeln größer null sein, wobei die W'keit für ic Kugeln dann gleich der W'keit i mal eine linke zu wählen siehe oben wäre.
mh!?!?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Mo 15.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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