Eigenfunktionen eines Operator < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Do 23.05.2013 | | Autor: | piet86 |
| Aufgabe | Gegeben seien die Eigenwerte und Eigenfunktionen eines Operators A,
d.h. [mm] A|phi_{n}> [/mm] = [mm] a_{n}|phi_{n}>
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] phi_{n}> [/mm] auch Eigenfunktion des Operators [mm] e^{A} [/mm] ist und bestimmen Sie den zugehörigen Eigenwert.
Hinweis: Benutzen Sie dazu die Reihenentwicklung
[mm] e^{A} [/mm] = [mm] \summe_{m=0}^{unendlich} \bruch{(A)^{m}}{m!} [/mm] |
Die Eigenfunktionen bestimme ich doch aus den Eigenvektoren, die ich wiederum aus den Eigenwerte bekommen.
Mein Problem ist, dass ich das bisher nur für Matrizen gemacht habe und mich schwer tue das auf diese Aufgabe zu übertragen.
Irgendwie muss ich auf eine Matrix kommen.
Könnt ihr mir Ansätze geben, wie die Aufgabe zu lösen ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:27 Do 23.05.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Gegeben seien die Eigenwerte und Eigenfunktionen eines
> Operators A,
> d.h. [mm]A|phi_{n}>[/mm] = [mm]a_{n}|phi_{n}>[/mm]
> Zeigen Sie, dass [mm]phi_{n}>[/mm] auch Eigenfunktion des Operators
Du meinst wohl: [mm] $\vert \phi_n\rangle$ [/mm] (Durch Draufklichen siehst Du wie man das schreibt)
> [mm]e^{A}[/mm] ist und bestimmen Sie den zugehörigen Eigenwert.
> Hinweis: Benutzen Sie dazu die Reihenentwicklung
> [mm]e^{A}[/mm] = [mm]\summe_{m=0}^{unendlich} \bruch{(A)^{m}}{m!}[/mm]
[mm] 'unendlich'=$\infty$
[/mm]
> Die
> Eigenfunktionen bestimme ich doch aus den Eigenvektoren,
> die ich wiederum aus den Eigenwerte bekommen.
Die Eigenvektoren erhältst Du mit Hilfe der Eigenwerte - nicht aus den Eigenwerten.
> Mein Problem ist, dass ich das bisher nur für Matrizen
> gemacht habe und mich schwer tue das auf diese Aufgabe zu
> übertragen.
> Irgendwie muss ich auf eine Matrix kommen.
Man kann zwar einen Operator auch als Matrix schreiben, das ist aber gar nicht notwendig.
> Könnt ihr mir Ansätze geben, wie die Aufgabe zu lösen
> ist?
Du sollst zeigen, dass [mm] $\vert \phi_n\rangle$ [/mm] Eigenvektor zu [mm] $e^A$ [/mm] ist. Was bedeutet das? Das heißt Du musst zeigen, dass gilt:
[mm] $e^A\vert \phi_n\rangle=u\vert \phi_n\rangle$ [/mm]
mit irgendeinem Eigenwert u, der dann auch noch zu bestimmen ist.
Also fang doch mal mit der linken Seite der Gleichung an und verwende den Hinweis und dann die Voraussetzung.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Do 23.05.2013 | | Autor: | piet86 |
Hallo notinx,
danke für die Tips,
Wie du gesagt hast, habe ich zunächst die linke Seite umgeformt:
[mm] \summe_{m=0}^{\infty} \bruch{(A)^{m} \vert \phi_n\rangle}{m!}
[/mm]
= [mm] \summe_{m=0}^{\infty} \bruch{(A)^{m-1} (A \vert \phi_n\rangle)}{m!}
[/mm]
Somit komme ich zu folgender Gleichung:
[mm] \summe_{m=0}^{\infty} \bruch{(A)^{m-1} (a_{n} \vert \phi_n \rangle)}{m!} [/mm] = [mm] u\vert \phi_n\rangle
[/mm]
für m=1 würde dann
[mm] A\vert \phi_n\rangle=a_{n}\vert \phi_n\rangle
[/mm]
gelten. Habe ich damit schon gezeigt, dass [mm] \vert \phi_n\rangle [/mm] Eigenfunktion des Operators [mm] e^A [/mm] ist?
Mir ist leider auch noch nicht ganz klar, wie ich auf den zugehörigen Eigenwert u komme.
Gruß
piet
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Do 23.05.2013 | | Autor: | notinX |
Ich bin mir nicht ganz sicher, obs falsch ist ich würde es so aber nicht machen und habe es so auch noch nicht gesehen. Damit ist auf jeden Fall noch nicht gezeigt, dass $ [mm] \vert \phi_n\rangle [/mm] $ Eigenfunktion ist.
Ich geb Dir noch einen Tipp: Schreib mal die ersten paar Summanden der Reihe hin und wende dann $ [mm] \vert \phi_n\rangle [/mm] $ darauf an.
Gruß,
notinX
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Hiho,
> Hallo notinx,
> danke für die Tips,
>
> Wie du gesagt hast, habe ich zunächst die linke Seite
> umgeformt:
>
> [mm]\summe_{m=0}^{\infty} \bruch{(A)^{m} \vert \phi_n\rangle}{m!}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{m=0}^{\infty} \bruch{(A)^{m-1} (A \vert \phi_n\rangle)}{m!}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Somit komme ich zu folgender Gleichung:
>
> [mm]\summe_{m=0}^{\infty} \bruch{(A)^{m-1} (a_{n} \vert \phi_n \rangle)}{m!}[/mm] = [mm]u\vert \phi_n\rangle[/mm]
Das macht doch gar keinen Sinn, was soll dann u sein nach deiner Gleichung?
Dein erster Schritt ist richtig. Nutze dann aus, dass [mm] a_n [/mm] und A kommutieren und mache dein Verfahren weiter, und weiter, und weiter.....
Dann kommst du auch auf etwas, was Sinn macht (wenn du das Ergebnis siehst, weißt du, was ich meine).
MFG,
Gono.
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