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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenräume
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Eigenräume: Parameter
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:52 So 29.06.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Berechnen Sie die Eigenräume der Matrix

[mm] $A=\begin{pmatrix}1&0&0\\c&1&0\\1&c-1&0\end{pmatrix}$ [/mm] mit [mm] $c\in\mathbb{R}$ [/mm]


Hi, ich habe eine Frage dazu wie man den Vektor für den Eigenraum aufschreibt.
Wenn ich die Eigenwerte berechne, welche [mm] $\lambda_{1,2}=1$ [/mm] und [mm] $\lambda_3=0$ [/mm] sind, und nun die Eigenräume berechne, dann muss ich eine Fallunterscheidung für $c=0$ machen. Dabei muss ich zwei Parameter $s$ und $t$ einführen und erhalte

[mm] $x_1=s+t$ [/mm]
[mm] $x_2=s$ [/mm]
[mm] $x_3=t$ [/mm]

Wie schreibe ich hier nun den Lösungsvektor hin?

[mm] $\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$ [/mm]



        
Bezug
Eigenräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:58 So 29.06.2014
Autor: Richie1401

Hi,

> Berechnen Sie die Eigenräume der Matrix
>
> [mm]A=\begin{pmatrix}1&0&0\\c&1&0\\1&c-1&0\end{pmatrix}[/mm] mit
> [mm]c\in\mathbb{R}[/mm]
>  Hi, ich habe eine Frage dazu wie man den Vektor für den
> Eigenraum aufschreibt.
> Wenn ich die Eigenwerte berechne, welche [mm]\lambda_{1,2}=1[/mm]
> und [mm]\lambda_3=0[/mm] sind, und nun die Eigenräume berechne,
> dann muss ich eine Fallunterscheidung für [mm]c=0[/mm] machen.
> Dabei muss ich zwei Parameter [mm]s[/mm] und [mm]t[/mm] einführen und
> erhalte
>  
> [mm]x_1=s+t[/mm]
>  [mm]x_2=s[/mm]
>  [mm]x_3=t[/mm]
>  
> Wie schreibe ich hier nun den Lösungsvektor hin?

Zunächst, ich habe nun die Werte nicht nachgerechnen.

Wenn du nun obige Werte aber erhalten hast, dann ist das eben gerade

[mm] x=s*\vektor{1\\1\\0}+t\vektor{1\\0\\1} [/mm]

mit [mm] s,t\in\IR [/mm]

>  
> [mm]\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}[/mm]
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Eigenräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:09 So 29.06.2014
Autor: YuSul

Okay, danke.

Und noch eine Frage, ich benötige hier eine Fallunterscheidung für $c=0$ und [mm] $x_1=0$ [/mm]

Wenn ich den Fall [mm] $x_1=0$ [/mm] betrachte, benötige ich aber glaube ich noch eine weitere Fallunterscheidung für $c=1$ und [mm] $c\neq [/mm] 1$
Dann sollte es nur die triviale Lösung geben, oder? Also [mm] $x_1=x_2=x_3$ [/mm] für $c=1$ und [mm] $x_1=0$ [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Eigenräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:30 So 29.06.2014
Autor: Adamantin

Ich versuche mich mal daran und hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.

Zunächst deine EW: stimmen, ich erhalte ebenfalls [mm] $\lambda_{1,2} [/mm] = 1$ und [mm] $\lambda_3 [/mm] = 0$.

Dein Eigenvektor stimmt auch für [mm] $\lambda=1$ [/mm]

Für c = 0 bleibt nur die 3. Gleichung
$III: [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3$ [/mm] übrig.

[mm] $x_3 [/mm] = t$ kann direkt frei gewählt werden, [mm] $x_2 [/mm] = s$ wählen wir ebenfalls frei, wodurch [mm] $x_1$ [/mm] festgelegt ist. Damit erhälst du zwei Eigenvektoren bzw. den Eigenraum
$v = [mm] \begin{pmatrix} s + t \\ s \\ t \end{pmatrix} [/mm] = [mm] s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, [/mm] s,t [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm]

Das kannst du einfach prüfen, indem du die zwei Eigenvektoren
$ [mm] v_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ [/mm] sowie [mm] $v_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm] in die Ausgangsmatrix für c= 0 einsetzt.

Jetzt kommt der Fall $c [mm] \neq [/mm] 0, [mm] x_1 [/mm] = 0$:

Hier erhalte ich zunächst natürlich aus [mm] $cx_1 [/mm] = 0$ die Bedingung, dass [mm] $x_1 [/mm] = 0$ sein muss. Damit bleibt Gleichung III:
$III: [mm] (c-1)x_2-x_3 [/mm] = 0$

Jetzt muss man sorgfältig arbeiten, da wir nicht einfach ein Produkt haben.

1. Fall $c = 1$ an:

[mm] $x_1 [/mm] = 0$ wegen [mm] $c\neq0$ [/mm]
[mm] $x_2$ [/mm] ist offen, da die dritte Gleichung nur [mm] $-x_3 [/mm] = 0$ liefert. Daher
[mm] $x_2 [/mm] = s$

Eigenvektor:
$v= [mm] s\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ [/mm]

2. Fall $c [mm] \neq [/mm] 1$

Dann müssen die Terme gleich sein:

$y = [mm] \cfrac{z}{c-1}$ [/mm]

Wir wählen wieder z frei
$z = t$
Dann folgt
$y = [mm] \cfrac{t}{c-1}$ [/mm]

Und der Eigenvektor:
$v =  [mm] t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ \cfrac{1}{c-1} \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm]

Wenn du diesen Vektor mit der Ausgangsmatrix multiplizierst, wirst du sehen, dass er tatsächlich mit [mm] $\lambda=1$ [/mm] wieder rauskommt, also ein EV ist.

Entschuldige meine schlampige Abkürzung am Ende mit x,y,z statt [mm] $x_2$ [/mm] usw. und die fehlenden "element von", aber ich bin dafür zu müde ^^

Bezug
                                
Bezug
Eigenräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:38 So 29.06.2014
Autor: YuSul

Ich verzeihe dir.  :-)
Vielen Dank für die Antwort.

Bezug
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