Eigenräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Di 27.05.2008 | | Autor: | Zweiti |
| Aufgabe | a) Man bestimme die verallgemeinerten Eigenräume des durch Multiplikation mit folgender Matrix gegebenen Endomorphismus von [mm] \IR^{3}:
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 4 & -5 \\ 0 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
b) Eine aufsteigende Folge von Unterräumen
{0} [mm] \subset U_{1} \subset U_{2} \subset [/mm] ... [mm] \subset U_{n}=V
[/mm]
in einem Vektorraum V mit dim [mm] U_{i}=i [/mm] für i= 1,...,n heißt Fahne in V.
Sei f [mm] \in [/mm] End (V). Zeigen Sie, dass V eine Fahne aus f-invarianten Unterräumen besitzt, genau dann wenn es eine Basis von V gibt, bzgl. derer sich f als obere Dreiecksmatrix schreiben lässt. |
Hallo,
ich weiß zwar wie man Eigenräume bestimmt, aber die Aufgabenstellung bei a) verwirrt mich. Mach ich da das normale, d.h. bestimme ich [mm] ker(M-\lambda [/mm] id)
oder was anderes?
Und bei b) bräuchte ich einen Ansatz wie ich an soetwas herangehe, ich hab davon keine Ahnung.
Danke
Zweiti
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Interseite gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Di 27.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Du sollst für einen Eigenwert z von M die Räume
[mm] ker(M-zid)^k
[/mm]
berechnen für k=0,1,2, ..... . Beachte dabei, dass dies eine aufsteigende Folge von Unterräumen ist und dass diese Folge ab einem gewissen Exponenten konstant wird.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:55 Di 27.05.2008 | | Autor: | Zweiti |
Hallo,
entschuldige, aber jetzt versteh ich immer noch nicht mehr als vorher.
Bezieht sich die Antwort auf a) ?
Was ist denn das k und woher kommt das?
Zweiti
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Di 27.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Wie habt Ihr denn "verallgemeinerter Eigenraum" def. ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Di 27.05.2008 | | Autor: | Zweiti |
Bis jetzt ja gar nicht, ich kenne nur den Begriff Eigenraum
Zweiti
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Di 27.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht hieß es bei Euch "Hauptraum" ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Zweiti |
So nach einigem Suchen, habe ich diese Definition jetzt auch gefunden....
Aber was sagt mir das genau?
Ich hab jetzt erstmal das charakteristische Polynom bestimmt, dh. (x-1)(x-2)(x-2), damit sind die EIgenwerte [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=2. [/mm] Aber wie mache ich jetzt weiter?
Zweiti
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Mi 28.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Das hab ich Dir doch in meiner ersten Antwort geschrieben
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Zweiti |
Also bestimme ich z.B. für den ersten Eigenwert die LSG folgenden Glgsystems:
[mm] \pmat{ 0 & 4 & -5 \\ 0 & 1 & -6 \\ 0 & 0 & 1 }? [/mm] Aber das wäre doch dann der ganz normale Eigenraum, ich weiß immer noch nicht wie ich das mit dem k rechnen soll? Ist weil [mm] \IR^{3} [/mm] auch k=3?
Zweiti
|
|
|
| |
|
> Also bestimme ich z.B. für den ersten Eigenwert die LSG
> folgenden Glgsystems:
> [mm]\pmat{ 0 & 4 & -5 \\ 0 & 1 & -6 \\ 0 & 0 & 1 }?[/mm] Aber das
> wäre doch dann der ganz normale Eigenraum, ich weiß immer
> noch nicht wie ich das mit dem k rechnen soll? Ist weil
> [mm]\IR^{3}[/mm] auch k=3?
Hallo,
nein, Du mußt (im Prinzip) bis ans Ende Deiner Tage rechen, also für alle natürlichen k.
Um bis ans Ende der Tage zu rechnen, muß man allerdins erstmal beginnen.
(Keine Angst: irgendwann unterscheiden die Haupträume sich nicht mehr, und dann kannst Du aufhören.)
Daß [mm] Kern(A-1*E)^1 [/mm] der "ganz normale Eigenraum" ist, ist doch wenig erstaunlich, oder? Was sollte es sonst sein...
Nun mach weiter mit [mm] Kern(A-1*E)^2, Kern(A-1*E)^3, Kern(A-1*E)^4,...
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Zweiti |
Soweit so gut,
dann ergibt sich bei mir für den ersten Eigenwert, als Lsg:
v= [mm] \vektor{\mu \\ 0 \\ 0} [/mm] und das immer, egal ob k= 1,2 ...
für den zweiten Eigenwert, als Lsg:
für k= 1: v= [mm] \vektor{4\mu \\ \mu \\ 0}
[/mm]
für k= 2,3 ....: v= [mm] \vektor{4\mu \\ \mu \\ 0}+\vektor{19\nu \\ 0 \\ \nu}
[/mm]
Aber was sagt mir das Ergebnis jetzt genau? und bin ich dann fertig?
|
|
|
| |
|
> Soweit so gut,
> dann ergibt sich bei mir für den ersten Eigenwert, als
> Lsg:
> v= [mm]\vektor{\mu \\ 0 \\ 0}[/mm] und das immer, egal ob k= 1,2
Hallo,
beachte, daß nicht die Eigenvektoren gefragt sind, sondern die Eigenräume, Du mußt also den Raum angeben:
[mm] Kern(A-1*E)^k=<\vektor{1 \\ 0 \\ 0}> [/mm] für alle k,
> ...
>
> für den zweiten Eigenwert, als Lsg:
>
> für k= 1: v= [mm]\vektor{4\mu \\ \mu \\ 0}[/mm]
[mm] Kern(A-1*E)=<\vektor{4 \\ 1 \\ 0}>,
[/mm]
> für k= 2,3 ....:
> v= [mm]\vektor{4\mu \\ \mu \\ 0}+\vektor{19\nu \\ 0 \\ \nu}[/mm]
[mm] Kern(A-1*E)^k=<\vektor{4 \\ 1 \\ 0},\vektor{19 \\ 0 \\ 1}> [/mm] für k=2,3,...
>
> Aber was sagt mir das Ergebnis jetzt genau?
Keine Ahnung.
Immerhin fällt auf, daß [mm] Kern(A-1*E)^1\subsetKern(A-1*E)^2 [/mm] ist,
und man könnte sich überlegen, wie die Matrix der Abbildung bzgl der Basis [mm] (\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{4 \\ 1 \\ 0}, \vektor{19 \\ 0 \\ 1}) [/mm] aussieht
> und bin ich
> dann fertig?
Mit der Angabe der Räume hast Du die Frage beantwortet.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Zweiti |
Soweit so gut, nachdem ich jetzt hoffentlich Teil a) verstanden habe, bin ich bei b) immer noch überfragt, hat da jemand für mich einen Ansatz.
Zweiti
|
|
|
| |
|
> b) Eine aufsteigende Folge von Unterräumen
> {0} [mm]\subset U_{1} \subset U_{2} \subset[/mm]
> ... [mm]\subset U_{n}=V[/mm]
> in einem Vektorraum V mit dim [mm]U_{i}=i[/mm]
> für i= 1,...,n heißt Fahne in V.
> Sei f [mm]\in[/mm] End (V). Zeigen Sie, dass V eine Fahne aus
> f-invarianten Unterräumen besitzt, genau dann wenn es eine
> Basis von V gibt, bzgl. derer sich f als obere
> Dreiecksmatrix schreiben lässt.
> Und bei b) bräuchte ich einen Ansatz wie ich an soetwas
> herangehe, ich hab davon keine Ahnung.
Hallo,
fast würde ich sagen: natürlich hat man davon keine Ahnung, das geht vermutlich zunächst fast jedem so.
Wie weit bist Du denn bisher gekommen?
Hast Du die Vorarbeiten fertig?
Die Erledigung der Vorarbeiten ist nämlich der Ansatz zur Lösung der Aufgabe.
Wissen wir etwas über die Basen der [mm] U_i, [/mm] wenn wir solche eine aufsteigende Folge v. Unterräumen haben?
Was sind f-invariante Unterräume?
Von welcher Machart ist die verwendete Basis, wenn die darstellende Matrix einer linearen Abbildung bzgl. dieser Basis eine obere Dreiecksmatrix ist.
Wenn dies geklärt ist, kann man über den Beweis nachdenken.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
