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| Aufgabe | Bestimme die Basis für die zugehörigen Eigenräume der reellen Matrix A:
$ A = [mm] \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ [/mm] |
Wenn ich richtig verstanden habe, dann besteht der Eigenraum zu einem bestimmten Eigenwert aus den entsprechenden Eigenvektoren + dem Nullvektor (der ja kein Eigenvektor sein kann).
Für die Matrix A habe ich die Eigenwerte [mm] $\lambda_1 [/mm] = 3, [mm] \lambda_2 [/mm] = 4 und [mm] \lambda_3 [/mm] = 5$ berechnet.
Ich löse dann die entsprechenden GLS für $(A - [mm] \lambda_i \cdot E_n)\cdot \vec v_i [/mm] = 0$.
Ich erhalte dann - hoffentlich richtig gerechnet, aber sei dies mal angenommen - folgende Ergebnisse:
[mm] $\lambda_1 [/mm] = 3 => [mm] v_1 [/mm] = (1,1,-1)$
[mm] $\lambda_2 [/mm] = 4 => [mm] v_2 [/mm] = (0,1,0)$
[mm] $\lambda_3 [/mm] = 5 => [mm] v_3 [/mm] = (1,1,1)$
Damit habe ich drei Eigenvektoren angegeben, von denen es jedoch noch weit mehr gibt und die ich mit den Eigenräumen [mm] $V_\lambda_i$ [/mm] darstelle:
[mm] $V_\lambda_1 [/mm] = Kern(A - [mm] \lambda_1 \cdot E_n) [/mm] = [mm] span\{ (1,1,-1) \}$
[/mm]
[mm] $V_\lambda_2 [/mm] = Kern(A - [mm] \lambda_2 \cdot E_n) [/mm] = [mm] span\{ (0,1,0) \} [/mm] $
[mm] $V_\lambda_3 [/mm] = Kern(A - [mm] \lambda_3 \cdot E_n) [/mm] = [mm] span\{ (1,1,1) \} [/mm] $
Passt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Mo 31.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
deine Rechnungen sind alle einwandfrei.
Gruß Sax.
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Vielen Dank für die schnelle Bestätigung! :))
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