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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Eigenraum,Basis
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Eigenraum,Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:01 Do 05.04.2012
Autor: Lu-

Aufgabe
C= [mm] \pmat{ 2 & 0&1 \\ 0 & 2&0 \\0&1&2} [/mm]
Bestimme alle Eigenwerte und Eigenräume

Eigenwert [mm] \lambda [/mm] = 2

Nun hab ich Pobleme beim Eigenraum für [mm] E_2 [/mm]

[mm] E_2 [/mm] = ker(C- [mm] 2*I_3) [/mm] = ker [mm] \pmat{ 0 & 0&1\\ 0 &0&0 \\0&1&0} [/mm]

Jetzt möchte ich die Basis des Lösungsraumes bestimmen.
Aber irgendwie kommt da immer nur (0/0/0) raus .
?


        
Bezug
Eigenraum,Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:15 Do 05.04.2012
Autor: Schachtel5

Hallo,
wann ist denn Ax=0, also [mm] A=C-2*I_3 [/mm] , wie kannst du denn da dein Vektor x wählen? Lg

Bezug
                
Bezug
Eigenraum,Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:48 Do 05.04.2012
Autor: Lu-

$ [mm] \pmat{ 0 & 0&1\\ 0 &0&0 \\0&1&0} [/mm] $ [mm] *\vektor{x \\ y \\z}=\vektor{0 \\ 0 \\0}=\vektor{z \\ 0 \\y} [/mm]

z=0
y=0
Und x ist frei wählbar oder wie'?



Bezug
                        
Bezug
Eigenraum,Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:34 Do 05.04.2012
Autor: Schachtel5

umgekehrt
[mm] \pmat{ 0 & 0&1\\ 0 &0&0 \\0&1&0} \cdot{}\vektor{x \\ y \\z}=\vektor{0 \\ 0 \\0} [/mm]
z=0
y=0 und x ist frei wählbar
am einfachsten macht man es sich, wenn man den 1.Standartbasisvektor nimmt.

Bezug
                                
Bezug
Eigenraum,Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:05 Do 05.04.2012
Autor: Lu-

Ist dann C diagonalisierbar?
SChon oder, weil man kann ja drei Basisvektoren von vom [mm] \IR^3 [/mm] finden, wenn x frei wählbar ist oder?

Bezug
                                        
Bezug
Eigenraum,Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:17 Do 05.04.2012
Autor: fred97


> Ist dann C diagonalisierbar?

Nein.


>  SChon oder, weil man kann ja drei Basisvektoren von vom
> [mm]\IR^3[/mm] finden, wenn x frei wählbar ist oder?

Nein. Wie sieht denn der zu $ [mm] \lambda [/mm] $ = 2  geh. Eigenraum aus ? Welche Dimension hat er ?

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Eigenraum,Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:43 Do 05.04.2012
Autor: Lu-

[mm] E_{\lambda_2} [/mm] = [mm] <\vektor{x \\ 0\\0}> [/mm]
eindimensional oder?

Bezug
                                                        
Bezug
Eigenraum,Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:51 Do 05.04.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Lu-,


> [mm]E_{\lambda_2}[/mm] = [mm]<\vektor{x \\ 0\\ 0}>[/mm]

Du musst [mm]x[/mm] schon konkret wählen, nimm irgend eine reelle Zahl, 1 oder von mir aus [mm]\pi[/mm]

Dann wird [mm]E_{\lambda_2}[/mm] von [mm]\vektor{1\\ 0\\ 0}[/mm] oder auch von [mm]\vektor{\pi\\ 0\\ 0}[/mm] erzeugt.

>  eindimensional oder? [ok]

Und was sagt dir das jetzt bzgl. der Diagonalisierbarkeit?

Wie war das Kriterium noch? Für jeden Eigenwert müssen algebraische und geometrische Vielfachheit übereinstimmen ...

Gruß

schachuzipus


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