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| Aufgabe | [mm] A=\pmat{ 0 & 1\\ 1 & 2} [/mm] diagonalisierbar.
Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und eine Matrix S, so dass [mm] D:=S^{-1}*A*S [/mm] |
Hallo!
Hab meine LA Klausur heute geschrieben und jetzt versuche ich diese Aufgabe nochmal zu rechnen, da ich mir nicht 100% sicher war, ob meine Lösung richtig war. Und irgendwie bin ich total verwirrt, hoffentlich kann mir jemand weiter helfen. Die Aufgabenstellung ist nicht ganz vollständig,ich hab sie mir nicht aufschreiben können.
[mm] p_{A}= x^2-2x-1 [/mm] = (x-a)(x-b)
[mm] a=1+\sqrt{2}
[/mm]
[mm] b=1-\sqrt{2}
[/mm]
Also sind a und b die Eigenwerte.
Das Problem sind die Eigenvektoren,hab einmal [mm] \pmat {-b\\1},\pmat {-a\\1}, [/mm] bei einer anderen Rechnung [mm] \pmat {b\\1},\pmat {a\\1}, [/mm] und bei einer dritten [mm] \pmat {0\\0}, \pmat {0\\0}, [/mm] wobei das letzte mir sehr komisch vorkommt ...
Ist eins davon richtig oder alles falsch?
Wenn ich nach der Formel D=S^-1*A*S rechne,kommt nie die Diagonalmatrix raus ...
HILFEEE! ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Und vielen Dank im Voraus!
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Hallo kateto,
ich hab noch einen anderen Eigenvektor zu bieten 
Ich hab mal den zu [mm] \lambda_1=1+\sqrt{2} [/mm] berechnet - vielleicht klappt die Diagonalisierung mit dem - und dem entsprechenden zu [mm] \lambda_2
[/mm]
Also meine Rechnung:
[mm] A-(1+\sqrt{2})\mathbb{E}_3=\pmat{ -1-\sqrt{2} & 1\\ 1 & 1-\sqrt{2}} [/mm]
Nun mal die erste Zeile mit [mm] (-1+\sqrt{2})\ne [/mm] 0 multiplizieren:
ergibt: [mm] \pmat{ -1 & -1+\sqrt{2}\\ 1 & 1-\sqrt{2}} [/mm]
Nun schnell die 2.Zeile zur 1.Zeile addieren:
[mm] \pmat{ 0 & 0\\ 1 & 1-\sqrt{2}} [/mm]
Also wähle [mm] x_2:=t, t\in\IR \Rightarrow x_1=(\sqrt{2}-1)t
[/mm]
Also ist [mm] Kern(A-(1+\sqrt{2})\mathbb{E}_3)=Eig(A,\lambda_1)=\langle\vektor{\sqrt{2}-1\\1}\rangle
[/mm]
Also ein Eigenvektor zu [mm] \lambda_1 [/mm] ist [mm] \vektor{\sqrt{2}-1\\1}
[/mm]
Ich hoffe, das kommt hin...
LG
schachuzipus
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Eigenvektor zu $ [mm] \lambda_1 [/mm] $ ist $ [mm] \vektor{\sqrt{2}-1\\1} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{-(1-\sqrt{2})\\1} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{-b\\1} [/mm] $
Ist das richtig???
Wenn das richtig ist, kommt für Eigenvektor zu [mm] \lambda_2 [/mm] nach demselben Schema [mm] \vektor{-a\\1} [/mm] raus.
Dann wäre S = [mm] \pmat{-b & -a\\1 & 1} [/mm]
Aber in dem Fall ist [mm] S^{-1}*A*S \not= [/mm] D wenn ich richtig rechne...
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Hi,
aber das klappt doch wunderbar,
ein Eigenvektor zu [mm] \lambda_2=1-\sqrt{2} [/mm] ist [mm] \vektor{-1-\sqrt{2}\\1}
[/mm]
Also setze [mm] S:=\pmat{ -1+\sqrt{2} & -1-\sqrt{2}\\ 1 & 1}
[/mm]
Dann ist [mm] S^{-1}=\frac{1}{det(S)}S^{adj}
[/mm]
[mm] $det(S)=2\sqrt{2}$ [/mm] und [mm] S^{adj}=\pmat{ 1&1+\sqrt{2} \\-1&-1+\sqrt{2}\\ }
[/mm]
Dann ist [mm] S^{-1}AS=\frac{1}{2\sqrt{2}}\pmat{ 1&1+\sqrt{2} \\-1&-1+\sqrt{2}\\ }\pmat{ 0&1 \\1&2\\ }\pmat{ -1+\sqrt{2} & -1-\sqrt{2}\\ 1 & 1}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2\sqrt{2}}\pmat{ 1+\sqrt{2} & 3+2\sqrt{2}\\ -1+\sqrt{2} & -3+2\sqrt{2}}\pmat{ -1+\sqrt{2} & -1-\sqrt{2}\\ 1 & 1}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2\sqrt{2}}\pmat{ 4+2\sqrt{2} & 0\\0&-4+2\sqrt{2}}=\pmat{ 1+\sqrt{2} & 0\\0&1-\sqrt{2}}
[/mm]
Also genau die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von A auf der Diagonalen
LG
schachuzipus
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