Eigenraum und die Menge B(V) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien A,B [mm] \in GL_{n}(\IC) [/mm] mit AB=BA.
a) Zeigen Sie: Ist [mm] V_{\lambda} [/mm] der Eigenraum zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von A, und [mm] B(V_{\lambda}) [/mm] = {B(v)|v [mm] \in V_{\lambda} [/mm] }, dann ist [mm] B(V_{\lambda}) \subset V_{\lambda}.
[/mm]
b) Zeigen Sie: es gibt einen Vektor, der zugleich Eigenvektor von A und von B ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Zusammen!
Ich habe noch keine Ahnung von dem Beweis, sondern beiße mich bisher noch durch. Es kann also sein, dass nicht alles, was ich hier schreibe für die Lösung wichtig ist bzw. kann kompletter Schrott sein.
Meine Überlegungen bisher:
Mein Gefühl sagt mir, dass AB=BA total wichtig ist. Da wir mit charakteristischem Polynom und ähnlichen Matrizen zu tun haben, habe ich einfach mal umgestellt und komme zu [mm] ABB^{-1} [/mm] = A = [mm] BAB^{-1} [/mm] und [mm] BAA^{-1} [/mm] = B = [mm] ABA^{-1}. [/mm] Also müssten A und B Diagonalmatrizen sein.
[mm] V_{\lambda} [/mm] ist definiert als [mm] Eig(A,\lambda) [/mm] = { [mm] v\in [/mm] V | [mm] Av=\lambda [/mm] v }. Ich vermute mal, weil A Diagonalgestalt hat und eine n [mm] \times [/mm] n -Matrix ist, kann ich davon ausgehen, dass es n solcher Eigenräume gibt und zwar genau die Einträge [mm] a_{ii} [/mm] der Matrix. Da 0 als Eigenwert zugelassen ist, kann 0 also auch auf der Diagonalen stehen. Laut Skript vermute ich mal, dass alle [mm] \lambda's [/mm] unterschiedlich sind. Genau weiß ich das aber nicht, kann mir da jemand eine Bestätigung oder Verneinung geben? Ich glaub nicht, dass es für die Aufgabe wichtig ist, aber wissen würd ich es trotzdem gerne.
Was [mm] B(V_{\lambda}) [/mm] = {B(v)|v [mm] \in V_{\lambda} [/mm] } angeht, so glaube ich, dass hiermit die Menge aller Vektoren gemeint ist, die herauskommt, wenn ich jeden Vektor von [mm] V_{\lambda} [/mm] mit der Matrix B multipliziere.
Zu [mm] B(V_{\lambda}) \subset V_{\lambda}: [/mm] zu zeigen wäre wohl [mm] \forall b\in B(V_{\lambda}) [/mm] : [mm] b\in V_{\lambda}. [/mm] Mein Start wäre also:
Sei [mm] b\in B(V_{\lambda}) [/mm] gegeben, dann gilt b = B*v mit [mm] v\in V_{\lambda}.
[/mm]
Jetzt muss ich bestimmt irgendwelche Vorgaben einarbeiten. Ich hab es mit AB=BA versucht. Umgestellt zu [mm] B=A^{-1}BA [/mm] ergibt dann b= [mm] A^{-1}BA*v. [/mm]
A*v kenne ich, dass ist [mm] \lambda [/mm] v. [mm] B(\lambda [/mm] v) kenne ich auch, dass ist [mm] \lambda [/mm] b. Nun bleibt [mm] b=A^{-1}\lambda [/mm] b ! Das ist jetzt so hässlich, dass ich zu Überlegungen wie [mm] A^{-1} *\lambda [/mm] *Einheitsmatrix = [mm] 1\in \IR [/mm] , damit die Gleichung aufgeht, gekommen bin. An diesem Punkt hab ich dann gestern beschlossen aufzuhören, eine Nacht drüber zu schlafen und auf die vielgepriesene Einstellung "Lass deinem Unterbewußtsein Zeit, damit zu arbeiten" zu vertrauen. ; )
Jetzt hab ich 'ne Nacht drüber geschlafen und bin genauso schlau wie vorher. Da mir der Ansatz von gestern zu blöd ist, muss ich was anderes versuchen. Hat jemand eine Ahnung, wieso meine Ansatz so furchtbar schief gelaufen ist?
Heute interessiert mich wie v [mm] \in V_{\lambda} [/mm] und b [mm] \in \B(V_{\lambda}) [/mm] aussieht. Wenn alle n [mm] \lambda's [/mm] unterschiedlich sind, ist meine algebraische Vielfachheit genau n. Die muss meiner geometrischen Vielfachheit entsprechen. Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension meines Eigenraumes, also n, also wird v aus n Basisvektoren gebildet. Zumindest glaub ich dass, weil mir das mit algebraisch und geometrisch und wenn mal nicht beide gleich sind, noch nicht so wirklich gut liegt. Ich kann mir die v [mm] \in V_{\lambda} [/mm] also als Linearkombination von z.B. den Einheitsvektoren denken. Was nun b [mm] \in B(V_{\lambda}) [/mm] angeht, so weiß ich, dass B eine Diagonalmatrix ist. Wenn ich mir meinen Vektor b als [mm] (b_1, b_2, [/mm] ... [mm] b_n) [/mm] vorstelle, müsste [mm] b_i=b_{ii}v_i [/mm] sein mit [mm] B=(b_{ii}). [/mm]
Wenn ich mir jetzt auf mein Blatt schreibe: {b = [mm] (b_{11}v_1, [/mm] ... [mm] b_{nn}v_n) [/mm] } [mm] \subset [/mm] { [mm] \mu (v_1, [/mm] ... , [mm] v_n [/mm] ) } sieht das schon irgendwie verwandt aus. Aber [mm] b_{11}= [/mm] ... = [mm] b_{nn} [/mm] = [mm] \mu [/mm] ist für meine Empfinden furchtbar verkehrt. Das würde bedeuten, dass alle Einträge auf meiner Diagonalen denselben Wert haben, was meiner Annahme, dass alle Einträge unterschiedlich sein müssen, wiederspricht. Also scheint irgendwas mit meinem [mm] v\in V_{\lambda} [/mm] falsch zu sein. Die Vorstellung, dass es sich um Einheitsvektoren handelt, ist bestimmt zu simpel gedacht.
Wenn ich es hinbekomme, dass Ganze so zusammenzubiegen, dass ich über die Menge, denn darum geht es ja, mit Hilfe der Koeffizenten beweise, dass es hier um Vielfache geht, dürfte das so ziemlich genau der Beweis sein, denn ich hier brauche. Aber jetzt hab ich wieder 'nen gedanklichen Knoten und es ist zu früh zum Schlafen und so viele Nächte hab ich nun auch nicht mehr Zeit. (Muss Mittwoch, besser noch Dienstag, damit fertig werden). Bin ich den bisher richtig? Hab ich was Wichtiges vergessen? (Kann mir jemand sagen wie ich an meinem Ende weitermachen muss?)
Was Teilaufgabe b angeht, so hab ich da nahezu gar nix. Ich vermute mal, dass mein Beweis lauten muss: [mm] \exists [/mm] v: [mm] v\in Eig(A,\lambda)\wedge v\in Eig(B,\lambda). [/mm] Spontan dachte ich an den Nullvektor, aber der ist nach Definition kein Eigenvektor. :(
All denen, die sich mit mir hier durchdenken und mir Hinweise, Tipps, etc. schreiben, bin ich bereits im Voraus sehr dankbar!
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> Es seien A,B [mm]\in GL_{n}(\IC)[/mm] mit AB=BA.
>
> a) Zeigen Sie: Ist [mm]V_{\lambda}[/mm] der Eigenraum zum Eigenwert
> [mm]\lambda[/mm] von A, und [mm]B(V_{\lambda})[/mm] = {B(v)|v [mm] \in V_{\lambda}
[/mm]
> }, dann ist [mm]B(V_{\lambda}) \subset V_{\lambda}.[/mm]
>
> b) Zeigen Sie: es gibt einen Vektor, der zugleich
> Eigenvektor von A und von B ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Dann will ich mich mal an Deinen langen Text herantrauen - ein leeres Blatt ist das nicht gerade.
> Meine Überlegungen bisher:
>
> Mein Gefühl sagt mir, dass AB=BA total wichtig ist.
Ja, davon ist auszugehen.
Meist ist ja alles, was in solchen Aufgaben steht, wichtig. Wenn man irgendeine Eigenschaft nicht benötigt, hat man meist was falsch gemacht.
> Da wir
> mit charakteristischem Polynom und ähnlichen Matrizen zu
> tun haben, habe ich einfach mal umgestellt und komme zu
> [mm]ABB^{-1}[/mm] = A = [mm]BAB^{-1}[/mm] und [mm]BAA^{-1}[/mm] = B = [mm]ABA^{-1}.[/mm] Also
> müssten A und B Diagonalmatrizen sein.
Diesem Schluß folge ich nicht, und ich halte ihn auch für verkehrt.
Beispiel: nehmen wir zwei Drehungen um 30° und 60° um die z-Achse bzw. die zugehörigen Matrizen. Ich kann die Drehungen vertauschen, aber Diagonalmatrizen sind die darstellenden Matrizen nicht.
> Da 0 als Eigenwert zugelassen
> ist, kann 0 also auch auf der Diagonalen stehen.
Deine Matrizen können aber nicht den Eigenwert 0 haben, denn sie sind als invertierbar vorausgesetzt.
(Überlege Dir, warum das so ist.)
> Laut
> Skript vermute ich mal, dass alle [mm]\lambda's[/mm] unterschiedlich
> sind.
Nein, dafür besteht kein Grund. Nehmen wir n=2, so wären [mm] A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1} [/mm] und [mm] B=\pmat{2 & 0 \\ 0 & 2} [/mm] durchaus Matrizen, die die Voraussetzungen erfüllen.
> Was [mm] B(V_{\lambda})= [/mm] {B(v)|v [mm] \in V_{\lambda} [/mm] } angeht, so
> glaube ich, dass hiermit die Menge aller Vektoren gemeint
> ist, die herauskommt, wenn ich jeden Vektor von [mm]V_{\lambda}[/mm]
> mit der Matrix B multipliziere.
Ja.
>
> Zu [mm]B(V_{\lambda}) \subset V_{\lambda}:[/mm] zu zeigen wäre wohl
> [mm]\forall b\in B(V_{\lambda})[/mm] : [mm]b\in V_{\lambda}.
Ganz genau.
[/mm] Mein Start
> wäre also:
> Sei [mm]b\in B(V_{\lambda})[/mm] gegeben, dann gilt b = B*v mit
> [mm]v\in V_{\lambda}.[/mm]
Ja.
>
> Jetzt muss ich bestimmt irgendwelche Vorgaben einarbeiten.
> Ich hab es mit AB=BA versucht. Umgestellt zu [mm]B=A^{-1}BA[/mm]
> ergibt dann b= [mm]A^{-1}BA*v.[/mm]
> A*v kenne ich, dass ist [mm]\lambda[/mm] v. [mm]B(\lambda[/mm] v) kenne ich
> auch, dass ist [mm]\lambda[/mm] b. Nun bleibt [mm]b=A^{-1}\lambda[/mm] b !
> Das ist jetzt so hässlich,
Nein! Du bist fast am Ziel:
==> [mm] Ab=\lambda [/mm] b
also ist b ein ...
(Du mußt nur noch drüber nachdenken, warum b nicht der Nullvektor ist.)
zu Teil b) später.
Gruß v. Angela
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*lol* Das erinnert mich schwer an die Korrekturen meiner Übungsblätter. Nur dass es dort dann Punkteverlust gibt und die Erklärungen nicht so gut sind.
Zu Diagonalmatrizen:
Da war ich wohl zu großzügig mit den beiden Definitionen:
A, B ähnlich [mm] \gdw \exists S\in Gl_n(\IC): A=SBS^{-1}
[/mm]
A diagonalisierbar [mm] \gdw \exists S\in Gl_n(\IC): D=SAS^{-1} [/mm] mit D Diagonalform
Eigentlich klar: Zwei Matrizen sind ähnlich, wenn ich sie ineinander überführen kann (was bei recht vielen der Fall ist). Und was das Diagonalisieren angeht, so lernen wir ja gerade, dass das eben nicht so einfach ist. Es kommt wohl ganz stark auf S an.
Zu [mm] \lambda \not= [/mm] 0:
Es würde gelten: [mm] det(A-\lambda [/mm] E)=det(A-0*E)=det(A)=0. Und det(A)=0 bedeutet, dass die Matrix keine Inverse besitzt.
Zu b [mm] \not= [/mm] Nullvektor:
[mm] B^{-1}B *v=B^{-1}b \not= [/mm] 0, wenn [mm] v\not= [/mm] 0 wegen Rang
Zu Aufgabe b):
Mittlerweile weiß ich nicht mal mehr welchen Ansatz ich nehmen soll. Ich glaube mein erster Ansatz ist nichtmal richtig geschrieben, sondern sollte eigentlich [mm] \exists v:v\in Eig(A,\lambda) \wedge v\in Eig(B,\mu) [/mm] lauten, weil der Eigenwert nicht derselbe sein muss.
Ich glaub es könnte ein Widerspruchsbeweis werden, der irgendwie den Ansatz [mm] Av=\lambda [/mm] v= [mm] Bv=\mu [/mm] v benutzt. Aber ich bekomme es noch nicht zusammen.
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> Zu [mm]\lambda \not=[/mm] 0:
> Es würde gelten: [mm]det(A-\lambda[/mm] E)=det(A-0*E)=det(A)=0. Und
> det(A)=0 bedeutet, dass die Matrix keine Inverse besitzt.
Hallo,
das ist richtig.
Ich selbst würde das so begründen, ich empfinde (!) es als "dichter dran" an der Sache:
wenn 0 ein Eigenwert ist, gibt es einen Vektor [mm] v\not=0 [/mm] mit Av=0.
Also ist [mm] kernA\not=0, [/mm] dh. A ist nicht injektiv, also nicht invertierbar.
zu b):
Du hast jetzt gezeigt, daß [mm] B(V_{\lambda}) \subseteq V_{\lambda}.
[/mm]
Betrachte nun die Abbildung
f: [mm] V_{\lambda} \to V_{\lambda} [/mm] mit
f(x):= Bx.
Überlege Dir nun, daß die darstellende Matrix einen Eigenwert hat. (Wir betrachten ja Matrizen über [mm] \IC.)
[/mm]
Dann denke über den Eigenvektor nach. In welcher Menge liegt der?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Di 15.04.2008 | | Autor: | pinked |
Hallo,
ich misch mich mal ein :p
Ist bei der Abbildung f die darstellende Matrix wieder B? Weil sonst würde uns das ja nicht viel bringen.
Vielen Dank im Voraus =)
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> ich misch mich mal ein :p
> Ist bei der Abbildung f die darstellende Matrix wieder B?
> Weil sonst würde uns das ja nicht viel bringen.
Hallo,
die Matrix ist nicht wieder B und das bringt doch etwas.
Zunächst zur Matrix:
deren "Kantenlänge" entspricht der Dimension von [mm] V_{\lambda}, [/mm] sie ist also "kleiner" als B.
Wieso ist das so? Wir bilden ab von [mm] V_{\lambda} [/mm] nach [mm] V_{\lambda}.
[/mm]
Um die Darstellungsmatrix aufzustellen, nehmen wir also irgendeine Basis von [mm] V_{\lambda}.
[/mm]
Solche eine Basis sei [mm] (v_1, ...,v_k)
[/mm]
So, nun haben wir unsere "kleine" Matrix, und es gibt Gründe dafür, daß sie einen Eigenvektor hat.
Mal angenommen, Du hättest [mm] a=\vektor{a_1,..., a_k} [/mm] als Eigenvektor berechnet.
Du mußt nun bedenken: das ist ein Koordinatenvektor bzgl der Basis [mm] (v_1, ...,v_k) [/mm] von [mm] V_{\lambda}.
[/mm]
Also ist a=summe [mm] a_iv_i, [/mm] und das bringt Dir ziemlich viel.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Di 15.04.2008 | | Autor: | Aleksa |
Ist das richtg, dass wenn B eingeschränkt auf [mm] V_\lambda:V_\lambda->V_\lambda [/mm] . Dann hat B einen Eigenvektor. Und da [mm] V_\lambda [/mm] auf [mm] V_\lambda [/mm] definiert ist , ist der Eigenvekorr von B gleichzeitig der Eigenvektor von A ....stimmt es so, oder liege ich da ganz falsch?
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> Ist das richtg, dass wenn B eingeschränkt auf
> [mm]V_\lambda:V_\lambda->V_\lambda[/mm] . Dann hat B
> einen
> Eigenvektor. Und da [mm]V_\lambda[/mm] auf [mm]V_\lambda[/mm] definiert ist ,
> ist der Eigenvekorr von B gleichzeitig der Eigenvektor von
> A ....stimmt es so, oder liege ich da ganz falsch?
Hallo,
Du liegst ziemlich gut!
"Ein Eigenvektor von A" muß es heißen. Nicht: "der".
Der Eigenvektor von der Einschränkung liegt in [mm] V_\lambda, [/mm] und diese Menge enthält gerade die Eigenvektoren von A zum Eigenwert [mm] \lambda.
[/mm]
Gruß v. Angela
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