Eigenraumbasen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Mo 01.05.2006 | | Autor: | kai21 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgende Matrize das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenraumbasen.
[mm] \pmat{ 4 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 &1 }
[/mm]
|
Ich habe jetzt das charakteristische Polynom berechnet, die Eigenwerte (1, 2, 3) und auch die Eigenvektoren zu den entsprechenden Eigenwerten:
zu 1: t* [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
zu 2: t* [mm] \pmat{ 1 \\ -1 \\ -2 }
[/mm]
zu 3: t* [mm] \pmat{ 2 \\ -1 \\ -2 }
[/mm]
Was sind denn nun die Basen? Ich versteh das mit den Basen nicht so ganz...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Mo 01.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
ich habe deine bisherigen Ergebnisse nicht überprüft
(dies kannst du ja selbst durch eine Probe machen)
Aber wenn du wirklich drei unterschiedliche Eigenwerte hast, dann stehen die Eigenvektoren dieser sogar schon orthogonal aufeinander - insbesondere sind sie damit natürlich linear unabhängig.
Also wähle einen Eigenvektor zu jedem Eigenwert (indem du z.B. immer t=1 wählst), dann hast du drei linear unabhängige Vektoren im [mm] $\IR^3$ [/mm] , also eine Basis.
(alle Basen sind gleich groß, deshalb weißt du, dass 3 Vektoren maximal viele linear unabhängige sind.)
Für mehr Lesestoff zum Thema Basen empfehle ich mal ein Buch deiner Wahl - oder Wikipedia oser sowas.
Wenn du dann speziellere Fragen hast, kannst du diese natürlich gerne stellen.
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Mo 01.05.2006 | | Autor: | kai21 |
DANKE erstmal!!!
Ich habe auch gleich noch eine Zusatzfrage, wenn ich darf:
was mache ich, wenn ich zu einer gleichen Fragestellung (nur mit anderen Zahlen-Werten) nur EINEN Eigenwert (dreifache Wertigkeit) gefunden habe?
Gibt es dann keine Basis?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Mo 01.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi nochmal,
dann musst du schauen, ob der Eigenraum auch Dimension 3 hat - nur dann kann es eine Basis aus Eigenvektoren geben.
also normalerweise bekommst du dann sowas wie [mm] $\vektor{a\\-3b+a\\-b}$ [/mm] als allgemeinen Eigenvektor zu EINEM Eigenwert, aber dies ist ja nichts anderes als [mm] $a*\vektor{1\\1\\0}+b*\vektor{0\\-3\\-1}$
[/mm]
hieran siehst du auch schon zwei linear unabhängige Eigenvektoren...
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Mo 01.05.2006 | | Autor: | kai21 |
Oh ha!
Merci...
|
|
|
|
