Eigenschaft Lebesgue-Integral < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Di 16.11.2010 | | Autor: | cmueller |
| Aufgabe | Es seien [mm] f_{1}, f_{2} [/mm] : X [mm] \subset \IR^{n} \to \IR [/mm] Lebesgue-integrierbar über X und [mm] f_{1} \le f_{2}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass
[mm] \integral_{X}{f_{1} d\lambda} \le \integral_{X}{f_{2} d\lambda} [/mm] |
Hallo zusammen,
habe als Lösung dieser Aufgabe folgendes:
Ich weiß ja, dass:
[mm] \integral_{X}{f_{1}d\lamda} [/mm] = [mm] \integral_{X}{ f_{1}^{+} d\lambda} [/mm] - [mm] \integral_{X}{f_{1}^{-}d\lambda} [/mm] ist und das entsprechend auch für [mm] f_{2} [/mm] gilt.
Da [mm] f_{1} \le f_{2} [/mm] folgt daraus
[mm] f_{1}^{+} \le f_{2}^{+} [/mm] und [mm] f_{1}^{-} \ge f_{2}^{-}
[/mm]
daraus folgt, dass auch gilt:
[mm] \integral_{X}{f_{1}^{+}d\lambda} \le \integral_{X}{f_{2}^{+} d\lambda}
[/mm]
[mm] \integral_{X}{f_{1}^{-}d\lambda} \ge \integral_{X}{f_{2}^{-}d\lamda}
[/mm]
und damit kann ich folgende gleichungskette aufstellen:
[mm] \integral_{X}{f_{1} d\lambda}=\integral_{X}{ f_{1}^{+} d\lambda} [/mm] - [mm] \integral_{X}{f_{1}^{-}d\lambda} \le \integral_{X}{ f_{2}^{+} d\lambda} [/mm] - [mm] \integral_{X}{f_{2}^{-}d\lambda} [/mm] = [mm] \integral_{X}{f_{2} d\lambda}
[/mm]
...
ich denke aber, dass ist zu kurz, außerdem habe ich mit sicherheit irgendwelche bedingungen missachtet oder so...
kann mir jemand sagen, wie ich besser anfangen kann, oder ob das doch richtig ist, bzw. welche voraussetzungen ich klären muss, damit der beweis so funktionieren kann...
danke :)
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Huhu,
es kommt ganz drauf an, wie ihr Lebesgue-Integrierbarkeit definiert habt, aber das ist nur eine Randnotiz.
Es kann bei deiner Definition von h nämlich durchaus vorkommen, dass da [mm] $\infty [/mm] - [mm] \infty$ [/mm] steht, was natürlich äußerst problematisch wäre.
Desweiteren weiß man ja auch nicht, welche Eigenschaften ihr denn schon hattet.
Daher Fragen wir mal anders:
Du machst 3 Schritte zur Umformung. Welche Eigenschaft nutzt du denn in jedem Schritt aus?
Habt ihr das schon bewiesen => Prima, darfst du benutzen
Habt ihr das nicht bewiesen => Doof, musst du anders machen.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:53 Di 16.11.2010 | | Autor: | cmueller |
Danke dir, habe es jetzt neu versucht,
daher nochmal die Frage....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Di 16.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Genau so macht man das, wenn man die Monotonie des Integrals für nichtnegative Funktionen schon hat !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Di 16.11.2010 | | Autor: | cmueller |
Hey, meinst du damit, dass hier:
Sei f: X [mm] \subset \IR^{n} \to [-\infty [/mm] , [mm] \infty]
[/mm]
Definiere das obere Integral durch
[mm] \overline{\integral_{X}}{f d\lambda} [/mm] = inf [mm] \{\integral_{X}{g d\lambda}; g :X \to\IR ist einfach, Lebesgue-integrierbar und f \le g\}
[/mm]
und das untere Integral durch
[mm] \integral_{X} [/mm] {f [mm] d\lambda} [/mm] = [mm] sup\{\integral_{X}{g d\lambda}; g : X \to \IR ist einfach, Lebesgue-integrierbar und g \ge f\}
[/mm]
...wenn ja, dann hatten wir das schon^^ ansonsten binich etwas unsicher...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Do 18.11.2010 | | Autor: | dazivo |
Hallo zusammen
Die Linearität des Integrals impliziert, dass man oBdA annehmen kann
[mm] $f_1 [/mm] = 0$. Schreibe [mm] $f_2 [/mm] = f$. Da der [mm] $L^1$-Abschluss [/mm] des Untervektorraums [mm] $span_\IR \{ \chi_A ; A \text{ Lebesgue messbar in } X\}$ [/mm] gleich [mm] $L^1(X)$ [/mm] ist, reicht es die Behauptung für diesen Untervektorraum zu beweisen, konkret: für [mm] $f\in span_\IR \{ \chi_A ; A \text{ Lebesgue messbar in } X\} \text{ und } \geq [/mm] 0$. Wiederum impliziert die Linearität, dass es für $f = [mm] \chi_A$, [/mm] $A$ Lebesgue messbar in $X$. Dies ist aber trivial.
Gruss dazivo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:55 Fr 19.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hey, meinst du damit, dass hier:
Was ich meinte war: so wie Du es hier
https://matheraum.de/read?i=735399
gemacht hast, ist es völlig richtig
FRED
>
> Sei f: X [mm]\subset \IR^{n} \to [-\infty[/mm] , [mm]\infty][/mm]
>
> Definiere das obere Integral durch
> [mm]\overline{\integral_{X}}{f d\lambda}[/mm] = inf
> [mm]\{\integral_{X}{g d\lambda}; g :X \to\IR ist einfach, Lebesgue-integrierbar und f \le g\}[/mm]
>
> und das untere Integral durch
>
> [mm]\integral_{X}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{f [mm]d\lambda}[/mm] = [mm]sup\{\integral_{X}{g d\lambda}; g : X \to \IR ist einfach, Lebesgue-integrierbar und g \ge f\}[/mm]
>
>
> ...wenn ja, dann hatten wir das schon^^ ansonsten binich
> etwas unsicher...
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