Eigenschaft von < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Fr 11.03.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Beweise Sie folgende Eigenschaft der Ganzteilfunktion (floor Funktion)
Seien $x [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] und [mm] $k\in \mathbb{Z}.$
[/mm]
$[x+k]=[x]+k $ [mm] $\forall [/mm] x,k$ |
Ich nehme stark an, dass man dies durch Einsetzen in die entsprechende Ganzteilfunktion beweise kann:
$[x+k] = [mm] \{z \in \mathbb{Z}: z \le x+k \} [/mm] $
$[x] + k = [mm] \{z\in \mathbb{Z}: z\le x \} [/mm] +k$
Mein Problem ist die Gleichheit beider Terme einzusehen, da ich nicht verstehe, wie man denn eine Zahl in eine Menge "hineinaddieren" können soll. Kann mir das jemand erklären? Ich würde mich freuen.
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Hallo,
> Beweise Sie folgende Eigenschaft der Ganzteilfunktion
> (floor Funktion)
> Seien [mm]x \in \mathbb{R}[/mm] und [mm]k\in \mathbb{Z}.[/mm]
> [mm][x+k]=[x]+k[/mm]
> [mm]\forall x,k[/mm]
> Ich nehme stark an, dass man dies durch
> Einsetzen in die entsprechende Ganzteilfunktion beweise
> kann:
> [mm][x+k] = \{z \in \mathbb{Z}: z \le x+k \}[/mm]
> [mm][x] + k = \{z\in \mathbb{Z}: z\le x \} +k[/mm]
Die Funktionswerte der FLOOR-Funktion sind keine Mengen, sondern
[x] := das größte [mm] z\in\IZ [/mm] mit [mm] z\leq [/mm] x
Damit sollte die Aussage klar werden.
>
> Mein Problem ist die Gleichheit beider Terme einzusehen, da
> ich nicht verstehe, wie man denn eine Zahl in eine Menge
> "hineinaddieren" können soll. Kann mir das jemand
> erklären? Ich würde mich freuen.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Fr 11.03.2011 | | Autor: | clemenum |
Hallo Kameleonti!
Danke für deine schnelle Rekation.
Schau, mein Problem ist nicht, dass ich die Gültigkeit der Aussage nicht (intuitiv) allgemein einsehen kann; es ist die formale Ausführlichkeit, die ich hier nicht zusammenbringe. Kann man denn dies in noch mehr Schritte zerlegen? Oder genügt es jeweils in die Definition einzusetzen?
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Hi clemenum,
> Hallo Kamaleonti!
>
> Danke für deine schnelle Rekation.
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> Schau, mein Problem ist nicht, dass ich die Gültigkeit der
> Aussage nicht (intuitiv) allgemein einsehen kann; es ist
> die formale Ausführlichkeit, die ich hier nicht
> zusammenbringe. Kann man denn dies in noch mehr Schritte
> zerlegen? Oder genügt es jeweils in die Definition
> einzusetzen?
Das Problem war, dass du die Definition nicht richtig verwendet hattest (es sollten keine Mengen auftauchen).
Es ist aber auch so nicht viel zu tun:
[x+k] ist die größte ganze Zahl z mit [mm] $z\leq [/mm] x+k$. Dann ist auch $z':=z-k=[x+k]-k$ eine ganze Zahl und sie erfüllt $z'=[x]$, also $z=[x]+k$.
Das ist eigentlich klar, wenn mal will, kann man das aber zusätzlich mit einem Widerspruchsbeweis untermauern. (Angenommen [mm] [x]>z'\Rightarrow[x+k]>z, [/mm] Widerspruch. Ebenso führt $[x]<z'$ zum Widerspruch)
Gruß
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