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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Sa 27.10.2007 | | Autor: | clover84 |
Hallo Zusammen,
kann man folgendes zu den rationalen Zahlen sagen:
Durch [mm] \phi: \IZ \to \IQ [/mm] mit a [mm] \mapsto \bruch{a}{1} [/mm] wird [mm] \IZ [/mm] auf den Unterring [mm] \phi(\IZ) \in \IQ [/mm] isomorph abgebildet.
Der Körper [mm] \IQ [/mm] ist der kleinste Körper, der [mm] \IZ [/mm] als Unterring enthät.
Vielen Dank für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 So 28.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Durch [mm]\phi: \IZ \to \IQ[/mm] mit a [mm]\mapsto \bruch{a}{1}[/mm] wird [mm]\IZ[/mm]
> auf den Unterring [mm]\phi(\IZ) \in \IQ[/mm] isomorph abgebildet.
genau. wobei hier wohl statt dem [mm] "$\in$" [/mm] ein [mm] "$\subseteq$" [/mm] stehen sollte.
> Der Körper [mm]\IQ[/mm] ist der kleinste Körper, der [mm]\IZ[/mm] als
> Unterring enthät.
man sollte noch etwas spezifizieren, was man mit "der kleinste" meint - es gibt durchaus noch andere körper, die die selbe kardinalität wie [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] haben und in die man [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] einbetten kann. aber was du meinst ist wohl die "universelle eigenschaft des quotinetnekörpers".
gibt es einen weiteren körper $K$ und einen injektiven ringhomomorphismus [mm] $\theta: \mathbb{Z} \longrightarrow [/mm] K$, so faktorisiert er über das von dir oben angegeben [mm] $\phi$: [/mm] es gibt also ein [mm] $\psi: \mathbb{Q} \longrightarrow [/mm] K$ mit [mm] $\theta [/mm] = [mm] \psi \circ \phi$ [/mm] (man kann [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] also als unterkörper von $K$ auffassen).
grüße
andreas
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