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Eigenschaften d. Lebesgue-Int.: Fragen zu Eigenschaften
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:25 Sa 21.05.2016
Autor: kai1992

Hallo zusammen,

ich arbeite an der Uni mit diesem Skript:

mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/Ana4-Lesky-SS16/Skript-korrigiert.pdf

Nun habe ich ein paar Fragen zu Satz 2.16, den Eigenschaften des Lebesgue-Integrals.

1) Die Eigenschaften 2) und 3) soll man selber beweisen. Wir hatten bis zu diesem Zeitpunkt allerdings noch keinerlei Konvergenzsätze (monotone Konvergenz ist 2.18) und nur die Definition des Lebesgue-Integrals (in 2.11 für einfache, positive Funktionen und in 2.15 für irgendwelche Funktionen). Wie könnte man hier ohne monotone Konvergenz arbeiten? Man könnte zwar f in Positiv-und Negativteil zerlegen, sodass man zwei positive, messbare Funktionen hat, aber die Definition mit dem supremum in 2.15 1) finde ich recht sperrig...

2) Zur Linearität (2.19), gilt das auch, wenn f und g nur messbar und positiv und nicht zwingend aus L1 sind? (ich frage, weil er das offensichtlich im Beweis von 2.20 bei der letzen Umformung benutzt). Er beweist sehr oft Eigenschaften für L1-Funktionen und ich weiß dann nicht, ob bzw. welche dann auch für (nur) messbare Funktionen gelten. So z.B. auch die Monotonie (2.16 5)), da stand auf anderen Seiten im Internet, die gelte auch, wenn f und g nur messbar und positiv sind...

3) Nochmals zu 2.16, bei 6) und 8) sagt er im Beweis einfach, das gelte ja schon für einfache Funktionen. Warum gilt es dann allgemein?

Ich hoffe, ihr könnt mir ein bisschen helfen, mir würde es schon reichen, wenn man ein paar Fragen klären könnte, sind jetzt ziemlich viele.

Lieben Dank euch und viele Grüße!


        
Bezug
Eigenschaften d. Lebesgue-Int.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:27 Mo 23.05.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> 1) Die Eigenschaften 2) und 3) soll man selber beweisen.
> Wir hatten bis zu diesem Zeitpunkt allerdings noch
> keinerlei Konvergenzsätze (monotone Konvergenz ist 2.18)
> und nur die Definition des Lebesgue-Integrals (in 2.11 für
> einfache, positive Funktionen und in 2.15 für irgendwelche
> Funktionen). Wie könnte man hier ohne monotone Konvergenz
> arbeiten? Man könnte zwar f in Positiv-und Negativteil
> zerlegen, sodass man zwei positive, messbare Funktionen
> hat, aber die Definition mit dem supremum in 2.15 1) finde
> ich recht sperrig...

dann gewöhn' dich besser dran :-)
Aber letztendlich zeigt man das relativ schnell über die maßtheoretische Standardargumentation:

a) Die Aussage gilt für einfache Funktionen
b) Die Aussage folgt aus a) für nichtnegative Funktionen
c) Die Aussage folgt aus b) für beliebige [mm] $L^1$-Funktionen [/mm]

und zwar genau so, wie du es gesagt hast.
Als Tipps:
Zeige 2.) zuerst für [mm] $\lambda \ge [/mm] 0$, dann hast du keine Probleme es beliebig aus dem Supremum rein- und rauszuziehen
3.) ist eigentlich trivial mit 1.) und 5.)

  

> 2) Zur Linearität (2.19), gilt das auch, wenn f und g nur
> messbar und positiv und nicht zwingend aus L1 sind? (ich
> frage, weil er das offensichtlich im Beweis von 2.20 bei
> der letzen Umformung benutzt). Er beweist sehr oft
> Eigenschaften für L1-Funktionen und ich weiß dann nicht,
> ob bzw. welche dann auch für (nur) messbare Funktionen
> gelten. So z.B. auch die Monotonie (2.16 5)), da stand auf
> anderen Seiten im Internet, die gelte auch, wenn f und g
> nur messbar und positiv sind...

Dann stimmt zwar nicht die Aussage zur [mm] $L^1$-Zugehörigkeit, [/mm] die Aussage bleibt aber erhalten. Ist aber auch trivial, denn:

Seien f,g meßbar und positiv, dann gilt die Aussage, denn:
1.) Sind f,g in [mm] L^1 [/mm] so folgt das mit dem Satz
2.) Ist eine von beiden Funktionen nicht in [mm] L^1 [/mm] obdA [mm] $f\not\in L^1$ [/mm] so folgt:

[mm] $+\infty \ge \int_E [/mm] f + [mm] g\;d\mu \ge \int_E [/mm] f [mm] \; d\mu [/mm]  = [mm] +\infty$ [/mm]

Da aber schon [mm] $\int_E f\;d\mu [/mm] =  [mm] +\infty$ [/mm] und [mm] $\int_E g\;d\mu \ge [/mm] 0$ ist auch  [mm] $\int_E f\;d\mu [/mm] + [mm] \int_E g\;d\mu [/mm] =  [mm] +\infty$ [/mm]

Und mit obigem folgt die Gleichheit.


> 3) Nochmals zu 2.16, bei 6) und 8) sagt er im Beweis
> einfach, das gelte ja schon für einfache Funktionen. Warum
> gilt es dann allgemein?

Definitionen beachten!
Dass es für einfache Funktionen gilt, ist dir klar? Wenn nicht, zeige es.
Dann folgt aber aus der Definition sofort einfach:

[mm] $\int_E [/mm] f [mm] d\mu [/mm] := [mm] \sup\left\{\int_E s \;d\mu \;\Big|\; 0 \le s \le f, s \;\text{einfach} \right\} [/mm] = [mm] \sup\left\{\int_{E'} s \;d\mu \;\Big|\; 0 \le s \le f, s \;\text{einfach} \right\} [/mm] =: [mm] $\int_{E'} [/mm] f [mm] d\mu$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Eigenschaften d. Lebesgue-Int.: Rüvkfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:45 Mo 23.05.2016
Autor: kai1992

Hey, erstmal danke für die Antwort! :-) leider ist immer noch einiges unklar...
>  
> > 1) Die Eigenschaften 2) und 3) soll man selber beweisen.
> > Wir hatten bis zu diesem Zeitpunkt allerdings noch
> > keinerlei Konvergenzsätze (monotone Konvergenz ist 2.18)
> > und nur die Definition des Lebesgue-Integrals (in 2.11 für
> > einfache, positive Funktionen und in 2.15 für irgendwelche
> > Funktionen). Wie könnte man hier ohne monotone Konvergenz
> > arbeiten? Man könnte zwar f in Positiv-und Negativteil
> > zerlegen, sodass man zwei positive, messbare Funktionen
> > hat, aber die Definition mit dem supremum in 2.15 1) finde
> > ich recht sperrig...
>  
> dann gewöhn' dich besser dran :-)
>  Aber letztendlich zeigt man das relativ schnell über die
> maßtheoretische Standardargumentation:
>  
> a) Die Aussage gilt für einfache Funktionen
>  b) Die Aussage folgt aus a) für nichtnegative Funktionen
>  c) Die Aussage folgt aus b) für beliebige [mm]L^1[/mm]-Funktionen
>  
> und zwar genau so, wie du es gesagt hast.
> Als Tipps:
> Zeige 2.) zuerst für [mm]\lambda \ge 0[/mm], dann hast du keine
> Probleme es beliebig aus dem Supremum rein- und
> rauszuziehen
>  3.) ist eigentlich trivial mit 1.) und 5.)

Zum Beweis von 2.): Verstehe ich das richtig, dass ich die Eigenschaft zuerst für einfache Funktionen zeigen soll? Im Falle [mm]\lambda \ge 0[/mm] ist das ja dann trivial (wenn man Def. 2.11 für das Lebesgue-Integral einfacher Funktionen nimmt), weil ich da ja eine endliche Summe habe und da Skalare rein-und rausziehen kann, wie ich will. Für negative [mm]\lambda[/mm] kann man ja dann aber 2.11 nicht mehr benutzen, weil die Vorfaktoren durch die Multiplikation mit dem neuen [mm]\lambda[/mm] ja nicht mehr alle [mm]\ge 0[/mm] sind. Was könnte man hier machen?

Wenn man das hat, kann man zu Schritt 2 gehen und die Eigenschaft für nichtnegative Funktionen zeigen, meintest du. Ich will nun zeigen, dass [mm]$\int_\Omega[/mm] [mm] \lambda f^{+}[/mm]  [mm]d\mu[/mm] = [mm] \lambda[/mm]  [mm]$\int_\Omega[/mm] [mm] f^{+}[/mm]  [mm]d\mu[/mm] ist. Nach Definition müsste ich dazu betrachten [mm]\sup\left\{\int_\Omega s \;d\mu \;\Big|\; 0 \le s \le \lambda f^{+}, s \;\text{einfach} \right\}[/mm] und da sehe ich jetzt nicht, wie es weitergeht...

Zum Beweis von 3): Du meinst ich soll dazu 1) und 5) benutzen, aber im Beweis von 5) wird im Skript ja 3) genutzt, dann wäre das ja ein Zirkelschluss, oder? Wie könnte man das sonst machen?

> > 3) Nochmals zu 2.16, bei 6) und 8) sagt er im Beweis
> > einfach, das gelte ja schon für einfache Funktionen. Warum
> > gilt es dann allgemein?
>  
> Definitionen beachten!
>  Dass es für einfache Funktionen gilt, ist dir klar? Wenn
> nicht, zeige es.
>  Dann folgt aber aus der Definition sofort einfach:
>  
> [mm]$\int_E[/mm] f [mm]d\mu[/mm] := [mm]\sup\left\{\int_E s \;d\mu \;\Big|\; 0 \le s \le f, s \;\text{einfach} \right\}[/mm]
> = [mm]\sup\left\{\int_{E'} s \;d\mu \;\Big|\; 0 \le s \le f, s \;\text{einfach} \right\}[/mm]
> =: [mm]$\int_{E'}[/mm] f [mm]d\mu$[/mm]

Also 6) ist mir für einfache Funktionen klar, ja (liegt ja im Wesentlichen daran, dass das Produkt zweier charakteristischer Funktionen dann die charakteristische Funktion vom Schnitt der jeweiligen Mengen ist, oder?). Aber auch hier ist mir, ähnlich wie oben, nicht klar, warum es dann z.B. für den Positivteil [mm] f^{+} [/mm] gilt. Ich komme mit dem Supremum noch nicht wirklich zurecht.
Auch 8) ist für einfache Funktionen klar (z.B. indem man E' disjunkt in E und E' \ E zerlegt und Maßeigenschaften nutzt). Mit deiner Begründung ist dann der Rest auch klar!!

>  

Vielen Dank dir und lieben Gruß!


Bezug
                        
Bezug
Eigenschaften d. Lebesgue-Int.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 Di 24.05.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Zum Beweis von 2.): Verstehe ich das richtig, dass ich die
> Eigenschaft zuerst für einfache Funktionen zeigen soll? Im
> Falle [mm]\lambda \ge 0[/mm] ist das ja dann trivial (wenn man Def.
> 2.11 für das Lebesgue-Integral einfacher Funktionen
> nimmt), weil ich da ja eine endliche Summe habe und da
> Skalare rein-und rausziehen kann, wie ich will.

[ok]

> Für negative [mm]\lambda[/mm] kann man ja dann aber 2.11 nicht mehr
> benutzen, weil die Vorfaktoren durch die Multiplikation mit dem neuen [mm]\lambda[/mm] ja nicht mehr alle [mm]\ge 0[/mm] sind. Was
> könnte man hier machen?

Das ist doch alles nur Notationsgeschwurbel. Mach dir mal fix klar, dass in der Definition 2.11 die Annahme [mm] $c_j \ge [/mm] 0$ keinerlei Einschränkung ist, denn:
Sei [mm] $\tilde{f} [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^k \tilde{c}_j 1_{A_j}$ [/mm] eine einfache Funktion mit nichtpositiven [mm] $\tilde{c}_j$, [/mm] dann ist doch offensichtlich [mm] $\tilde{f} [/mm] = [mm] \tilde{f}^+ [/mm] - [mm] \tilde{f}^- [/mm] = 0 - [mm] \tilde{f} [/mm] = [mm] -\tilde{f}$ [/mm] eine einfache Funktion wie in Definition 2.11 verlangt und damit nach Definition 2.15.2

[mm] $\int_E \tilde{f} \;d\mu [/mm] = [mm] \int_E \tilde{f}^+ \;d\mu [/mm] - [mm] \int_E \tilde{f}^- \;d\mu [/mm] = 0 - [mm] \int_E -\tilde{f} \;d\mu [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^k \tilde{c}_j \mu(A_j \cap [/mm] E)$

Und 2.11 gilt somit auch, falls [mm] $c_j \le [/mm] 0$ und daher für beliebige [mm] $c_j \in \IR$ [/mm] ja sogar für [mm] $c_j \in \overline\IR [/mm] = [mm] \IR \cap \{\infty\} \cap \{-\infty\}$ [/mm]

> Wenn man das hat, kann man zu Schritt 2 gehen und die
> Eigenschaft für nichtnegative Funktionen zeigen, meintest
> du. Ich will nun zeigen, dass [mm]$\int_\Omega[/mm] [mm]\lambda f^{+}[/mm]  
> [mm]d\mu[/mm] = [mm]\lambda[/mm]  [mm]$\int_\Omega[/mm] [mm]f^{+}[/mm]  [mm]d\mu[/mm] ist. Nach
> Definition müsste ich dazu betrachten
> [mm]\sup\left\{\int_\Omega s \;d\mu \;\Big|\; 0 \le s \le \lambda f^{+}, s \;\text{einfach} \right\}[/mm]
> und da sehe ich jetzt nicht, wie es weitergeht...

Auch das ist einfaches Notationsgeschwurbel. Mach dir klar: s ist eine einfache Funktion, genau dann, wenn [mm] $\frac{s}{\lambda}$ [/mm] eine solche ist.
Gehe ich also über alle einfachen Funktionen, kann ich jedes s einfach als $s = [mm] \lambda \tilde{s}$ [/mm] schreiben mit [mm] $\tilde{s} [/mm] = [mm] \frac{s}{\lambda}$ [/mm] und erhalte:

[mm] $\int_\Omega \lambda f^{+} \; d\mu [/mm] $
$= [mm] \sup\left\{\int_\Omega s \;d\mu \;\Big|\; 0 \le s \le \lambda f^{+}, s \;\text{einfach} \right\}$ [/mm]
$= [mm] \sup\left\{\int_\Omega \lambda \tilde{s} \;d\mu \;\Big|\; 0 \le \lambda \tilde{s} \le \lambda f^{+}, \lambda \tilde{s} \;\text{einfach} \right\}$ [/mm]
$= [mm] \sup\left\{\lambda \int_\Omega \tilde{s} \;d\mu \;\Big|\; 0 \le \tilde{s} \le f^{+}, \tilde{s} \;\text{einfach} \right\}$ [/mm]
$= [mm] \lambda \int_\Omega f^{+}\;d\mu$ [/mm]

> Zum Beweis von 3): Du meinst ich soll dazu 1) und 5)
> benutzen, aber im Beweis von 5) wird im Skript ja 3)
> genutzt

Wo? In 5) wird erstmal nur die Monotonie genutzt, dafür braucht man 3) aber nicht. Die Aussage von 3 ist viel stärker!
Für die Aussage in 5.) brauchst du nur Definition 2.15.2 und die triviale Aussage, dass das Integral einer nichtnegativen Funktion nichtnegativ ist.

> Also 6) ist mir für einfache Funktionen klar, ja (liegt ja
> im Wesentlichen daran, dass das Produkt zweier
> charakteristischer Funktionen dann die charakteristische
> Funktion vom Schnitt der jeweiligen Mengen ist, oder?).

Jo.

> Aber auch hier ist mir, ähnlich wie oben, nicht klar,
> warum es dann z.B. für den Positivteil [mm]f^{+}[/mm] gilt. Ich
> komme mit dem Supremum noch nicht wirklich zurecht.

Das ist da wirklich etwas technisch und daher mMn sinnvoller, das gleich mit monotoner Konvergenz zu zeigen, denn letztendlich ist es das gleiche, denn mach dir klar: Ein Element einer Menge ist das Supremum, genau dann, wenn es eine obere Schranke ist und eine monoton wachsende Folge existiert, die das Element approximiert.

Aber aus diesem Grund gilt eben auch beim Supremum bezüglich [mm] $f*\chi_E$, [/mm] dass dies durch Treppenfunktionen der Form [mm] $s*\chi_E$ [/mm] approximiert werden kann. Letztendlich die gleiche Geschichte wie mit den [mm] $\lambda [/mm] s$.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Eigenschaften d. Lebesgue-Int.: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:19 Di 24.05.2016
Autor: kai1992

Tach, bevor ich losleg nochmals vielen Dank, hilft mir echt, was du so schreibst :-)

> Das ist doch alles nur Notationsgeschwurbel. Mach dir mal
> fix klar, dass in der Definition 2.11 die Annahme [mm]c_j \ge 0[/mm]
> keinerlei Einschränkung ist, denn:
>  Sei [mm]\tilde{f} = \sum_{j=1}^k \tilde{c}_j 1_{A_j}[/mm] eine
> einfache Funktion mit nichtpositiven [mm]\tilde{c}_j[/mm], dann ist
> doch offensichtlich [mm]\tilde{f} = \tilde{f}^+ - \tilde{f}^- = 0 - \tilde{f} = -\tilde{f}[/mm]
> eine einfache Funktion wie in Definition 2.11 verlangt und
> damit nach Definition 2.15.2

Hier meinst du: [mm]\tilde{f} = \sum_{j=1}^k \tilde{c}_j 1_{A_j}[/mm] eine einfache Funktion mit nichtpositiven [mm]\tilde{c}_j[/mm], dann ist doch offensichtlich [mm]\tilde{f} = \tilde{f}^+ - \tilde{f}^- = 0 - \tilde{f}^- = -\tilde{f}^-[/mm] und somit -[mm]\tilde{f}[/mm] eine einfache Funktion wie in der Def. oder?

>  
> [mm]\int_E \tilde{f} \;d\mu = \int_E \tilde{f}^+ \;d\mu - \int_E \tilde{f}^- \;d\mu = 0 - \int_E -\tilde{f} \;d\mu = \sum_{j=1}^k \tilde{c}_j \mu(A_j \cap E)[/mm]

>

>  
> Und 2.11 gilt somit auch, falls [mm]c_j \le 0[/mm] und daher für
> beliebige [mm]c_j \in \IR[/mm] ja sogar für [mm]c_j \in \overline\IR = \IR \cap \{\infty\} \cap \{-\infty\}[/mm]

perfekt!

>  
> Auch das ist einfaches Notationsgeschwurbel. Mach dir klar:
> s ist eine einfache Funktion, genau dann, wenn
> [mm]\frac{s}{\lambda}[/mm] eine solche ist.
>  Gehe ich also über alle einfachen Funktionen, kann ich
> jedes s einfach als [mm]s = \lambda \tilde{s}[/mm] schreiben mit
> [mm]\tilde{s} = \frac{s}{\lambda}[/mm] und erhalte:
>  
> [mm]\int_\Omega \lambda f^{+} \; d\mu[/mm]
>  [mm]= \sup\left\{\int_\Omega s \;d\mu \;\Big|\; 0 \le s \le \lambda f^{+}, s \;\text{einfach} \right\}[/mm]
>  
> [mm]= \sup\left\{\int_\Omega \lambda \tilde{s} \;d\mu \;\Big|\; 0 \le \lambda \tilde{s} \le \lambda f^{+}, \lambda \tilde{s} \;\text{einfach} \right\}[/mm]
>  
> [mm]= \sup\left\{\lambda \int_\Omega \tilde{s} \;d\mu \;\Big|\; 0 \le \tilde{s} \le f^{+}, \tilde{s} \;\text{einfach} \right\}[/mm]
>  
> [mm]= \lambda \int_\Omega f^{+}\;d\mu[/mm]

auch hier: alles klar, super!


> Wo? In 5) wird erstmal nur die Monotonie genutzt, dafür
> braucht man 3) aber nicht. Die Aussage von 3 ist viel
> stärker!
>  Für die Aussage in 5.) brauchst du nur Definition 2.15.2
> und die triviale Aussage, dass das Integral einer
> nichtnegativen Funktion nichtnegativ ist.

Im Beweis von 5), wenn er aus [mm]f^+ \le g^+[/mm] folgert, dass [mm] \integral_{E}{f^+ d\mu} \le \integral_{E}{g^+ d\mu}, [/mm] da verwendet er doch Eigenschaft 3), oder wie komme ich da sonst hin?

>  

>  Das ist da wirklich etwas technisch und daher mMn
> sinnvoller, das gleich mit monotoner Konvergenz zu zeigen,
> denn letztendlich ist es das gleiche, denn mach dir klar:
> Ein Element einer Menge ist das Supremum, genau dann, wenn
> es eine obere Schranke ist und eine monoton wachsende Folge
> existiert, die das Element approximiert.
>  
> Aber aus diesem Grund gilt eben auch beim Supremum
> bezüglich [mm]f*\chi_E[/mm], dass dies durch Treppenfunktionen der
> Form [mm]s*\chi_E[/mm] approximiert werden kann. Letztendlich die
> gleiche Geschichte wie mit den [mm]\lambda s[/mm].

Darüber muss ich nochmal nachdenken, wenn ich das gemacht habe, kann ich dir sagen, ob ich es verstanden habe :-) haha

>  

Danke und Gruß zurück!

Bezug
                                        
Bezug
Eigenschaften d. Lebesgue-Int.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:21 Fr 27.05.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Im Beweis von 5), wenn er aus [mm]f^+ \le g^+[/mm] folgert, dass
> [mm]\integral_{E}{f^+ d\mu} \le \integral_{E}{g^+ d\mu},[/mm] da
> verwendet er doch Eigenschaft 3), oder wie komme ich da
> sonst hin?

viel viel einfacher!
Das folgt einfach aus der Eigenschaften des Supremums, denn:

[mm] $\int_E f\; d\mu [/mm] = [mm] \sup\{\int_E s\; d\mu\; s \text{ einfach } , 0 \le s \le f\}$ [/mm]
[mm] $\int_E g\; d\mu [/mm] = [mm] \sup\{\int_E s\; d\mu\; s \text{ einfach } , 0 \le s \le g\}$ [/mm]

Ist nun [mm] $f\le [/mm] g$ so ist die Menge [mm] $\{0 \le s \le f\} \subseteq \{0 \le s \le g\}$ [/mm]
Ein Supremum über eine größere Menge kann aber nur größer werden!

Damit folgt sofort:
[mm] $\int_E f\; d\mu \le \int_E g\; d\mu$ [/mm]

Gruß,
Gono

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Eigenschaften d. Lebesgue-Int.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:37 Fr 03.06.2016
Autor: kai1992

Hey,
sorry für die späte Antwort, aber ich war ziemlich im Stress, wir haben am Mittwoch Scheinklausur geschrieben ;-)

Inzwischen ist mir auf jeden Fall alles klar geworden und ich habe den Beweis von jeder einzelnen Eigenschaft des Satzes nun dank deiner Hilfe sauber hinbekommen! Vielen Dank für deine Mühe!
Liebe Grüße

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