Eigenschaften d. ganzen Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Welche Eigenschaften hat die Multiplikation in [mm] \IZ [/mm] ? Beweise sie.
Formuliere das Distributivgesetz in [mm] \IZ.
[/mm]
Beweise das Distributivgesetz in [mm] \IZ [/mm] unter der Voraussetzung, dass es in [mm] \IN [/mm] gilt.
Beweise das Distributivgesetz auch in [mm] \IN.
[/mm]
Erläutere, warum [mm] \IZ [/mm] kein Körper ist. |
Muss man bei der Multiplikation in [mm] \IZ [/mm] zuerst die ganzen Zahlen als Paarmenge definieren. z.B. -3 als Menge (4,1), 2 als Menge (1,3) ? Oder kann man die Eigenschaften und Beweise auch mit Betrag und Vorzeichen vornehmen ? Die Erklärung der Multiplikation in [mm] \IZ [/mm] mit Hilfe des Betrages und der Vorzeichenregeln sieht doch so aus, oder ?:
Für alle a,b [mm] \varepsilon \IZ [/mm] gilt :
a x b = |a| x |b| für a,b > 0
-(|a| x |b|) für a >0, b < 0 und für a < 0, b > 0
|a| x |b| für a,b < 0
0 für a = 0, b [mm] \ge [/mm] 0
für a = 0, b [mm] \le [/mm] 0
für a [mm] \le [/mm] 0, b = 0
für a [mm] \ge [/mm] 0, b = 0
|a| x |a| für |b| = |a|
|b| x |b| für |a| = |b|
Die Addition in [mm] \IZ [/mm] haben wir schon behandelt. Mit der Bitte um Hilfe. Bin Neuling in der Zahlentheorie.
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> Welche Eigenschaften hat die Multiplikation in [mm]\IZ[/mm] ?
> Beweise sie.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es ist etwas schwer, Dir zu helfen, weil überhaupt nicht klar ist, was bisher so alles definiert und besprochen wurde.
Die Eigenschaften der Multiplikation, die zu zeigen sind, sind Assoziativität, Kommutativität und die Existenz eines neutralen Elementes .
Wenn ich mit anschaue, was Du unten über die Multiplikation schreibst, komme ich zu dem Schluß, daß Du das wohl mit Fallunterscheideungen lösen sollst,
Du mußt also (axb)xc=ax(bxc) für sämtliche mögliche Fälle v. Vorzeichenkombinationen bearbeiten.
Um das zu tun, benötigst Du sicher, daß (-a)x(-b)=axb=-ax(-b) ist, ob das bereits dran war, weißt nur Du, und das macht - wie gesagt - Hilfestellung schwierig.
> Formuliere das Distributivgesetz in [mm]\IZ.[/mm]
(a+b)xc=axc+bxc
> Beweise das Distributivgesetz in [mm]\IZ[/mm] unter der
> Voraussetzung, dass es in [mm]\IN[/mm] gilt.
Auch hier wirst Du wohl wieder die verschiedenen Vorzeichenkombinationen untersuchen müssen.
> Beweise das Distributivgesetz auch in [mm]\IN.[/mm]
Hier mußte man wissen, was Ihr sonst so gemacht habt.
> Erläutere, warum [mm]\IZ[/mm] kein Körper ist.
Schau Dir die Körperaxiome an: man benötigt zu jedem Element ein Inverses bzgl der Multiplikation.
Überlege Dir, daß das in [mm] \IZ [/mm] nicht der Fall ist.
> Muss man bei der Multiplikation in [mm]\IZ[/mm] zuerst die ganzen
> Zahlen als Paarmenge definieren. z.B. -3 als Menge (4,1), 2
> als Menge (1,3) ? Oder kann man die Eigenschaften und
> Beweise auch mit Betrag und Vorzeichen vornehmen ?
Ich nehme an, daß Ihr es so machen sollt.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | | Welche Eigenschaften hat die Multiplikation in [mm] \IZ [/mm] ? Beweise sie ! |
Ich muss vorausschieben, dass mein 16-jähriger Sohn Thomas die Aufgaben bewältigen soll. Ich versuche ihm dabei zu helfen. Die o.a. Aufgaben sollen in einer Art "Forschungsheft" münden. Das nur mit geringen Vorkenntnissen möglichst selbst auch mithilfe von Internetquellen zusammengestellt werden soll.
Thomas hat heute eine Mathearbeit über den bisherigen Stoff, Eigenschaften der natürlichen Zahlen, Peano-Axiome, Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, bzgl. der Addition in [mm] \IN [/mm] geschrieben.
Die o.g. Aufgaben sollen als 2.Klausur gewertet werden. (Aufbaugymnasium 11.Klasse, Matheergänzungskurs)
So jetzt wieder zum Thema:
Habe mir aus dem Internet erstmal die Definitionen: Relation, kartesisches Produkt A x A,Eigenschaften der Relation (reflexiv symmetrisch und transitiv), Äquivalenzrelation und Äquivalenzklasse "reingezogen". Ich hatte doch einige Mühe, dies zu verstehen. Diese Dinge benötigt man wohl, um die ganzen Zahlen zu definieren !
Die Menge der ganzen Zahlen werden dann mit den Äquivalenzklassen der auf [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] definierten Relaxion (a,b) ~ (c,d) [mm] \IN [/mm] a + d = b + c bestimmt.
Bezeichnet man mit [(a,b)] die Äquivalenzklasse, die das Element (a,b) enthält, dann ist
[mm] \IZ [/mm] = {[(a,b)] | a,b [mm] \in \IN [/mm] }
Die Äquivalenzklasse [(a,a)] mit beliebigem a [mm] \in \IN [/mm] wird NULLELEMENT genannt.
Die Äquivalenzklasse [(a + 1),a] mit beliebigem a [mm] \in \IN [/mm] wird EINSELEMENT genannt.
Sind diese Dinge soweit richtig ?
Kann ich nun mit den Eigenschaften der Multiplikation der ganzen Zahlen fortfahren ? Muss ich die Äquivalenzklassen benutzen oder kann ich ich es einfacher erklären ?
Nur die Fälle mit Fallunterscheidungen und Vorzeichenkombinationen zu erklären ist, glaube ich zu wenig, obwohl die Definition dr Multiplikation mit Hilfe des Betrages und der Vorzeichenregeln relativ einfach ist...
Ich weiß ich stelle immer zu viele Frage...aber wie Du siehst, ist das Thema nicht nur für meinen Sohn sehr neu...
Gib mir bitte einen Tipp. Ach ja , vielen Dank für deine Antwort, dachte schon, dass sich niemand bei mir meldet. Das tut gut...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Di 11.12.2007 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
hmm, wenn man irgendwelche Eigenschaften der Multiplikation beweisen soll, dann muss da ja irgendwann einmal festgelegt worden sein, was "Multiplikation" eigentlich bedeutet, sonst ist die ganze Aufgabenstellung Humbug.
Ich würde schon von der Paardarstellung ausgehen, die Vorzeichenregeln stecken da dann zwar drin, aber zunächst ist ja noch gar nicht erklärt, was ein "Vorzeichen" überhaupt bedeuten soll.
Ich würde jetzt erwarten, dass irgendwo in den Unterlagen Deines Sohnes die Multiplikation definiert ist als:
[mm] $[(a,b)]\cdot[(a',b')] [/mm] = [(aa'+bb',ab'+ba')]$
Und durch stures Anwenden dieser Definition müssten eigentlich die ganzen zu beweisenden Eigenschaften (Assoziativität, Kommutativität, das Einselement als neutrales Element) auf die Rechenregeln mit natürlichen Zahlen zurückzuführen sein.
Reicht das als Einstiegshilfe?
Gruß
piet
P.S.: Ich habe die Definition der Multiplikation jetzt nicht nachgeschaut, aber man kann sich die ja auch recht leicht selbst herleiten, wenn man sowieso schon mit ganzen Zahlen umgehen kann:
Das Paar (a,b) steht für de ganze Zahl (a-b) (bildlich gesprochen ist a der Plus- und b der Minus-Anteil), und damit ist
[mm] $(a,b)\cdot(a',b') \hat= (a-b)\cdot(a'-b') [/mm] = aa' + bb' -ab' - ba' = (aa' + bb') - (ab' + ba') [mm] \hat= [/mm] (aa'+bb',ab'+ba')$
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Hallo Piet, vielen Dank für die Erläuterungen.
Ich kann die Eigenschaften der Multiplikation in [mm] \IZ [/mm] beschreiben und die entsprechenden Beweise mit Deiner Formel erläutern.
anstatt von [(a´, b´)] (das sind doch die Nachfolger von a und b) kann ich dabei doch auch das Zahlenpaar (c, d) benutzen, oder ?
Das mit den Relationen und Äquivalenzklassen war für mich nicht einfach zu verstehen. Toll finde ich, dass man hier auch die mathematischen Symbole einfügen kann. Das geht auf meinem PC in Word leider nicht.
vielen Dank für die Antworten
Schorsch und Sohn Thomas aus Hamburg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Mi 12.12.2007 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> anstatt von [(a´, b´)] (das sind doch die Nachfolger von a
> und b) kann ich dabei doch auch das Zahlenpaar (c, d)
> benutzen, oder ?
O.K., wenn bei euch der Strich den Nachfolger bezeichnet (da ist die Notation nicht ganz einheitlich), dann waren die Bezeichnungen etwas unglücklich. In dem Fall ist sind dann c und d natürlich besser.
>
> Das mit den Relationen und Äquivalenzklassen war für mich
> nicht einfach zu verstehen.
Ja, das ist zunächst schon starker Tobak (ich hätte mich nie getraut, das mit meinen Schülern zu machen) - aber um diese stark formalisierenden Dinge führt im Mathe-Studium dann kein Weg mehr vorbei.
> Toll finde ich, dass man hier
> auch die mathematischen Symbole einfügen kann. Das geht auf
> meinem PC in Word leider nicht.
Für Word gibt es auch verschiedene Formeleditoren, mit denen man so etwas machen kann (einer wird glaube ich sogar mitgeliefert, aber nicht unbedingt standardmäßig installiert), allerdings wird das meistens nicht so hübsch wie hier. Die Umsetzung passiert übrigens mit LaTeX. Das ist zwar nicht so intuitiv zu bedienen wie Word, da die ganzen Dokumente nur als Textdatei mit irgendwelchen Formatierungsbefehlen geschrieben werden, aber gerade bei Formeln ist man mit etwas Übung teilweise sogar schneller unterwegs als mit Word und das Ergebnis sieht (finde ich) auch noch besser aus und es kostet nix. Für größere mathematische Arbeiten also in jedem Fall zu empfehlen .
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> vielen Dank für die Antworten
> Schorsch und Sohn Thomas aus Hamburg
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Schorsch56 |
Nochmals vielen Dank für die Tipps. Aufgrund der Vorarbeiten und Eurer Hilfe kann die Arbeit bis zur Abgabe am 18.Dezember sicherlich zu schaffen sein.
eine schöne Adventszeit wünschen Vater und Sohn aus Hamburg
PS: werde jetzt wohl häufiger im Matheforum stöbern
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