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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Eigenschaften der Inversen
Eigenschaften der Inversen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenschaften der Inversen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 Sa 05.12.2009
Autor: Spencer

Aufgabe
(a [mm] \circ [/mm] b)^-1 = b^-1 [mm] \circ [/mm] a^-1

Kann mir jemand ein Tipp geben! Ich soll mit hilfe der Gruppenaxiome das beweisen soll !

Gruß
Spencer

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Eigenschaften der Inversen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 Sa 05.12.2009
Autor: felixf

Hallo Spencer!
(pun intended?)

> (a [mm]\circ[/mm] b)^-1 = b^-1 [mm]\circ[/mm] a^-1
>  Kann mir jemand ein Tipp geben! Ich soll mit hilfe der
> Gruppenaxiome das beweisen soll !

Schau dir doch mal die Axiome an. Damit [mm] $b^{-1} \circ a^{-1}$ [/mm] das Inverse von $a [mm] \circ [/mm] b$ ist, muss doch gelten $(a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ (b^{-1} \circ a^{-1}) [/mm] = e = [mm] (b^{-1} \circ a^{-1}) \circ [/mm] (a [mm] \circ [/mm] b)$. Sprich, du hast zwei Gleichheiten die du nachpruefen musst. Leg doch mal los!

LG Felix


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Eigenschaften der Inversen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 Sa 05.12.2009
Autor: Spencer

hmm also ich hätte eher den beweis so angefangen

e [mm] \circ [/mm] (a [mm] \circ [/mm] b)^-1 dann hätte ich e umgeformt

a^-1 [mm] \circ [/mm] a (a [mm] \circ [/mm] b)^-1 und dann so lange umgeformt bis eben b^-1 [mm] \circ [/mm] a^-1 rauskommt

bin mir nur nicht sicher ob man noch ein e braucht um dahinzukommen !?

gruß
Spencer

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Eigenschaften der Inversen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 Sa 05.12.2009
Autor: Karl_Pech

Hallo Spencer,


Das, was Felix dir geschrieben hat, ist doch gerade die []Definition des inversen Elementes einer Gruppe. Und laut dem, was du beweisen sollst, hat dieses inverse Element zwei Darstellungen, die äquivalent sind [mm](a\circ b)\circ(a\circ b)^{-1} = (a\circ b)^{-1}\circ(a\circ b)\Leftrightarrow \texttt{``siehe Felix Antwort''}[/mm].


Siehe dir doch mal das Assoziativgesetz einer Gruppe an:


[mm](a\circ b)\circ\left(b^{-1}\circ a^{-1}\right)=\textcolor{blue}{(\textcolor{black}{a\circ b})}\circ\left(b^{-1}\circ a^{-1}\right)=\textcolor{red}{(\textcolor{black}{a\circ b})}\circ\left(b^{-1}\circ a^{-1}\right)[/mm]

[mm]=a\circ\textcolor{red}{\left(\textcolor{black}{b\circ\left(b^{-1}\circ a^{-1}\right)}\right)}=a\circ\textcolor{blue}{\left(\textcolor{black}{b\circ\left(b^{-1}\circ a^{-1}\right)}\right)}=a\circ\left(b\circ\left(b^{-1}\circ a^{-1}\right)\right)=a\circ\left(b\circ\textcolor{blue}{\left(\textcolor{black}{b^{-1}\circ a^{-1}}\right)}\right)=\dotsm[/mm]



Viele Grüße
Karl




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Eigenschaften der Inversen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:58 So 06.12.2009
Autor: Spencer

[a][Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]

Bezug
                                
Bezug
Eigenschaften der Inversen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:58 So 06.12.2009
Autor: Spencer

würde das ganze dann so aussehen !?

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                                        
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Eigenschaften der Inversen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:32 So 06.12.2009
Autor: Denny22

Hallo,

es wäre schöner aufgeschrieben, wenn die Gleichung, die Du zeigen sollst, auch in einer Gleichungskette stünde. Das nur als Randbemerkung. Ich zeige Dir dies mal zum Schluss der Antowrt.

Die erste Zeile enthält ja nur Deine Behauptung. In der zweiten Zeile hast Du ja bereits 2 Mal das Assozientivgesetz angewendet und hast dies zudem verschwiegen. Insbesondere verschweigst Du alles, was Du anwendest. Mit anderen Worten solltest Du wesentlich präziser arbeiten und Deine Rechenschritte begründen. Deine generelle Vorgehensweise ist aber sehr richtig. Ich zeige Dir mal, wie es für die eine Gleichung aussehen sollte:

[mm] $(a\circ b)\circ(b^{-1}\circ a^{-1})$ [/mm]
[mm] $=a\circ(b\circ(b^{-1}\circ a^{-1}))$ [/mm] (wegen Assoziativgesetz)
[mm] $=a\circ((b\circ b^{-1})\circ a^{-1})$ [/mm] (wegen Assoziativgesetz)
[mm] $=a\circ(e\circ a^{-1})$ [/mm] (wegen Inverselement, d.h. [mm] $b^{-1}$ [/mm] Inverse von $b$)
[mm] $=a\circ a^{-1}$ [/mm] (wegen Neutralelement)
$=e$

Lieben Gruß
Denny
Die andere Gleichung folgt analog.

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Eigenschaften der Inversen: Bem. zum Scan
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:38 So 06.12.2009
Autor: angela.h.b.


> es wäre schöner aufgeschrieben, wenn die Gleichung, die
> Du zeigen sollst, auch in einer Gleichungskette stünde.
> Das nur als Randbemerkung. Ich zeige Dir dies mal zum
> Schluss der Antowrt.

Hallo,

auch von mir noch eine Randbemerkung:

noch viel schöner wäre es gewesen, wäre Deine, Spencers, Rechnung hier nicht eingescannt gewesen.
Dann hätte nämlich Denny, welcher Dir geholfen hat, nicht auch noch die Mühe des Tippens gehabt, weil er hätte dazwischenschreiben, löschen, kopieren können.

Gruß v. Angela

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Eigenschaften der Inversen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:46 So 06.12.2009
Autor: Denny22


> (...)
>  Dann hätte nämlich Denny, welcher Dir geholfen hat,
> nicht auch noch die Mühe des Tippens gehabt, weil er
> hätte dazwischenschreiben, löschen, kopieren können.

@Spencers: Ja für die Zukunft solltest Du das tatsächlich tun. In diesem Fall waren es glücklicherweise nicht so viele Zeilen, die ich tippen musste. ;-)


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Eigenschaften der Inversen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:50 So 06.12.2009
Autor: Spencer

ok wird gemacht !

gruß
Spencer

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Eigenschaften der Inversen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:46 So 06.12.2009
Autor: Spencer

gut die Begründungen hab ich nicht hingeschrieben da wir dafür Gruppenaxiomsabkürzungen haben die euch ja nicht viel sagen .... werden aber von mir noch eingefügt!

Genau zu dem Einwand "die erste Zeile enthält nur meine Behauptung" hab ich noch eine Frage! Und zwar die orginal Aufgabe hieß

(a [mm] \circ [/mm] b)^-1 = b^-1 [mm] \circ [/mm] a^-1

müsste ich nicht am Ende es Beweises auf der rechten Seite herauskommen, sodass dann am Ende da steht


(a [mm] \circ [/mm] b)^-1=
.
.
.
.
. Beweisschritte
.
.
.

= b^-1 [mm] \circ [/mm] a^-1



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Eigenschaften der Inversen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:52 So 06.12.2009
Autor: angela.h.b.


> Genau zu dem Einwand "die erste Zeile enthält nur meine
> Behauptung" hab ich noch eine Frage! Und zwar die orginal
> Aufgabe hieß
>
> (a [mm]\circ[/mm] b)^-1 = b^-1[mm]\circ[/mm]a^-1
>
> müsste ich nicht am Ende es Beweises auf der rechten Seite
> herauskommen, sodass dann am Ende da steht
>
>
> (a[mm]\circ[/mm]b)^-1=
>  .
>  .
>  .
>  .
>  . Beweisschritte
> .
>  .
>  .
>  
> = b^-1 [mm]\circ[/mm] a^-1
>

Hallo,

hier hilft es sich klarzumachen, was   "(a[mm]\circ[/mm][mm] b)^{-1} [/mm] = [mm] b^{-1}[/mm] [mm]\circ[/mm][mm] a^{-1} [/mm] "  in Worten heißt:

Das Inverse zu a[mm]\circ[/mm]b  ist [mm] b^{-1}[/mm] [mm]\circ[/mm][mm] a^{-1} [/mm] .

Wie erkennt man, daß ein Element das Inverse von a [mm]\circ[/mm] b ist? Daran, daß sie miteinander verknüpft das neutrale Element ergeben.

Also muß man (a[mm]\circ[/mm][mm] b)\circ (b^{-1}[/mm] [mm]\circ[/mm][mm] a^{-1} [/mm] ) ausrechnen, und wenn am Ende e herauskommt, dann weiß man, daß [mm] b^{-1}[/mm] [mm]\circ[/mm][mm] a^{-1} [/mm]  das Inverse zu a[mm]\circ[/mm]b ist. In Zeichen: [mm] b^{-1}[/mm] [mm]\circ[/mm][mm] a^{-1} [/mm] =(a[mm]\circ[/mm][mm] b)^{-1} [/mm]

Gruß v. Angela




Bezug
                                                        
Bezug
Eigenschaften der Inversen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 So 06.12.2009
Autor: Denny22

Also Du weißt, dass für ein Element [mm] $a\circ [/mm] b$ aus Deiner Gruppe die Eigenschaft des Inversen Elements erfüllt ist

[mm] $(a\circ b)^{-1}\circ(a\circ b)=e=(a\circ b)\circ(a\circ b)^{-1}$ [/mm]

und dass dieses inverse Element [mm] $(a\circ b)^{-1}$ [/mm] eindeutig ist (!!!), d.h. es gibt nur ein solches Element mit der obigen Eigenschaft. Nun hast Du aber gezeigt, dass das Element [mm] $(b^{-1}\circ a^{-1})$ [/mm] (das offenbar auch ein Element Deiner Gruppe ist) die Eigenschaft

[mm] $(b^{-1}\circ a^{-1})\circ(a\circ b)=e=(a\circ b)\circ(b^{-1}\circ a^{-1})$ [/mm]

erfüllt, d.h. ein inverses Element zu [mm] $(a\circ [/mm] b)$ ist. Wegen der Eindeutigkeit des Inversen Elements (d.h. es gibt nur ein einziges) folgt nun aber, dass diese gleich sein müssen, d.h.

[mm] $(a\circ b)^{-1}=(b^{-1}\circ a^{-1})$ [/mm]


Bezug
                                                                
Bezug
Eigenschaften der Inversen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:02 So 06.12.2009
Autor: Spencer

ok danke jetzt hab ich es verstanden !

gruß
Spencer

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