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| Aufgabe | Es seinen [mm] \gamma,\delta \in \IC [/mm] und [mm] T:\IC \to\IC,T(z)=\gamma z+\delta \overline{z}. [/mm] Zeigen Sie:
i) T ist genau dann bijektiv, wenn [mm] \gamma\overline{\gamma}\not=\delta\overline{\delta}
[/mm]
ii) es gilt |T(z)|=|z| genau dann, wenn [mm] \gamma\delta=0 [/mm] und [mm] |\gamma+\delta|=1 [/mm] |
so ich glaube ich verstehe die Fkt schon garnicht da ich bei
i) schon ka hab warum es da [mm] \overline{\gamma}, [/mm] wofür brauch ich die konjunktion? oder is das nen andres gamma?
ich stell mir bei der fkt aber eig vor das gamma und delta beliebig aber fest sind wie eine konstante
bei ii) wollte ich [mm] \Leftarrow [/mm] probieren
[mm] \gamma\delta=0, [/mm] da [mm] \IC [/mm] nullteilerfrei, muss eines von beiden =0 sein zudem gilt
[mm] |\gamma+\delta|=\wurzel{(x_{\gamma}+x_{\delta})^2+(y_{\gamma}+y_{\delta})^2}, [/mm] da aber gamma oder delta=0 sind(ich nehme jetzt bspweise [mm] delta=0,x=x_{\gamma}) [/mm] gilt [mm] \wurzel{x^2+y^2}=1
[/mm]
daraus folgt [mm] x^2+y^2=1, [/mm] so noch mehr beispielhalber sie [mm] x=y=\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] und z=u+iv
dann gilt jetzt [mm] (\wurzel{\bruch{1}{2}}+i\wurzel{\bruch{1}{2}})*(u+iv)=(\wurzel{\bruch{1}{2}}u-\wurzel{\bruch{1}{2}}v)+i(\wurzel{\bruch{1}{2}}u+\wurzel{\bruch{1}{2}}v)...so [/mm] der betrag davon ist sogar wirklich gleich |z| aber es war nicht allgemein bewiesen
un der rückweg is mir auch nicht klar, es gilt schon mal [mm] |\gamma z+\delta \overline{z}|=|z|
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:51 Di 20.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es seinen [mm]\gamma,\delta \in \IC[/mm] und [mm]T:\IC \to\IC,T(z)=\gamma z+\delta \overline{z}.[/mm]
> Zeigen Sie:
> i) T ist genau dann bijektiv, wenn
> [mm]\gamma\overline{\gamma}\not=\delta\overline{\delta}[/mm]
> ii) es gilt |T(z)|=|z| genau dann, wenn [mm]\gamma\delta=0[/mm] und
> [mm]|\gamma+\delta|=1[/mm]
> so ich glaube ich verstehe die Fkt schon garnicht da ich
> bei
> i) schon ka hab warum es da [mm]\overline{\gamma},[/mm] wofür
> brauch ich die konjunktion?
> oder is das nen andres gamma?
Nein
> ich stell mir bei der fkt aber eig vor das gamma und delta
> beliebig aber fest sind wie eine konstante
Ja , gamma und delta sind Konstanten
> bei ii) wollte ich [mm]\Leftarrow[/mm] probieren
> [mm]\gamma\delta=0,[/mm] da [mm]\IC[/mm] nullteilerfrei, muss eines von
> beiden =0 sein zudem gilt
>
> [mm]|\gamma+\delta|=\wurzel{(x_{\gamma}+x_{\delta})^2+(y_{\gamma}+y_{\delta})^2},[/mm]
> da aber gamma oder delta=0 sind(ich nehme jetzt bspweise
> [mm]delta=0,x=x_{\gamma})[/mm] gilt [mm]\wurzel{x^2+y^2}=1[/mm]
> daraus folgt [mm]x^2+y^2=1,[/mm] so noch mehr beispielhalber sie
> [mm]x=y=\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm] und z=u+iv
> dann gilt jetzt
> [mm](\wurzel{\bruch{1}{2}}+i\wurzel{\bruch{1}{2}})*(u+iv)=(\wurzel{\bruch{1}{2}}u-\wurzel{\bruch{1}{2}}v)+i(\wurzel{\bruch{1}{2}}u+\wurzel{\bruch{1}{2}}v)...so[/mm]
> der betrag davon ist sogar wirklich gleich |z| aber es war
> nicht allgemein bewiesen
> un der rückweg is mir auch nicht klar, es gilt schon mal
> [mm]|\gamma z+\delta \overline{z}|=|z|[/mm]
Zu [mm] \Rightarrow [/mm] :Sei $|T(z)|=|z|$ für jedes z [mm] \in \IC. [/mm] Dann
(*) [mm]|\gamma z+\delta \overline{z}|=|z|[/mm] für jedes z [mm] \in \IC
[/mm]
Nun setze mal in (*) z=1. Was folgt ?
Zu [mm] \Leftarrow: [/mm] Ohne beschränkung der Allgemeinheit kannst Du [mm] \gamma=0 [/mm] annehmen. Dann ist [mm] $|\delta|=1$ [/mm] und $T(z) = [mm] \delta \overline{z}$.
[/mm]
Was folgt nun für $|T(z)|$ ??
FRED
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