Eigenschaften p-adische Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Do 28.09.2006 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | [mm] $\IZ_{p}:=\{\sum_{i=0}^{\infty}a_ip^i\mid a_i\in\{0,1,\ldots,p-1\}\}$
[/mm]
[mm] $\IQ_{p}:=\{\sum_{i=-k}^{\infty}a_ip^i\mid a_i\in\{0,1,\ldots,p-1\}\}$
[/mm]
oder alternative Definition:
[mm] $\IQ_{p}':=R/I$
[/mm]
[mm] $\IZ_{p}':=\{x\in\IQ_{p}'\mid v_p(x)\geqslant 0\}=\{x\in\IQ_{p}'\mid \left|x\right|_{p}\leqslant 1\}$
[/mm]
(R komm. Ring mit 1, der alle p-adische rationalen C.F. enthält und I max. Ideal, das alle p-adischen rationalen Nullfolgen enthält) |
Hallo an alle,
interessehalber versuche ich mich an einigen Beweisen in den Semsterferien und komme bei einigen nicht weiter.
Ich wäre euch sehr dankbar, Wenn euch zur ein oder anderen Frage eine Antwort (oder ein Hinweis) einfällt.
Also folgende Dinge sind mir nicht ganz klar:
Warum ist
1. [mm] $\IQ_{p}$ [/mm] nicht angeordnet
2. [mm] $\IQ_{p}$ [/mm] lokal kompakt
3. [mm] $\IZ_{p}$ [/mm] Hauptidealring (ich weiß nicht, wie ich die Idale bestimmen kann)
4. [mm] $\IZ_{p}$ [/mm] lokaler Ring (ich weiß, dass [mm] $\IZ_{p}$ [/mm] Bewertungsring ist)
Tut mir leid, dass es so eine Menge Fragen sind, aber so spare ich mir 4 neue offene Fragen ins Forum zu stellen.
Ich danke Euch für eure Antworten.
Denny
(Diese Frage wurde in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Internetseite gestellt)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Do 28.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]\IZ_{p}:=\{\sum_{i=0}^{\infty}a_ip^i\mid a_i\in\{0,1,\ldots,p-1\}\}[/mm]
>
> [mm]\IQ_{p}:=\{\sum_{i=-k}^{\infty}a_ip^i\mid a_i\in\{0,1,\ldots,p-1\}\}[/mm]
>
> oder alternative Definition:
> [mm]\IQ_{p}':=R/I[/mm]
> [mm]\IZ_{p}':=\{x\in\IQ_{p}'\mid v_p(x)\geqslant 0\}=\{x\in\IQ_{p}'\mid \left|x\right|_{p}\leqslant 1\}[/mm]
>
> (R komm. Ring mit 1, der alle p-adische rationalen C.F.
> enthält und I max. Ideal, das alle p-adischen rationalen
> Nullfolgen enthält)
> Hallo an alle,
>
> interessehalber versuche ich mich an einigen Beweisen in
> den Semsterferien und komme bei einigen nicht weiter.
> Ich wäre euch sehr dankbar, Wenn euch zur ein oder anderen
> Frage eine Antwort (oder ein Hinweis) einfällt.
> Also folgende Dinge sind mir nicht ganz klar:
> Warum ist
>
> 1. [mm]\IQ_{p}[/mm] nicht angeordnet
Ich vermute mal, dass du ein Element konstruieren kannst, wessen Quadrat eine negative ganze Zahl ist. Hab aber grad keine Zeit darueber nachzudenken. Vielleicht weiss es ja jemand anders?
Etwas konkreter:
Sei $a [mm] \in \{ 1, \dots, p-1 \}$ [/mm] so, dass [mm] $x^2 [/mm] + a$ eine Loesung in [mm] $\IZ/p$ [/mm] hat. Diese kannst du mit dem Henselschen Lemma fuer jedes $k$ zu einer Loesung in [mm] $\IZ/p^k$ [/mm] liften, womit sich eine Loesung in [mm] $\IZ_p$ [/mm] ergibt.
(Wenn $p = 2$ ist musst du evtl. [mm] $x^3 [/mm] + a$ nehmen oder so.)
> 2. [mm]\IQ_{p}[/mm] lokal kompakt
Weil es ein lokaler Koerper ist; siehe z.B. Proposition 5.1 im Buch von Neukirch. Man kann es (wie dort im Buch) sehr schoen sehen, wenn man [mm] $\IZ_p$ [/mm] mit [mm] $\varprojlim \IZ_p/\mathfrak{p}^n$ [/mm] identifiziert (die sind sowohl topologisch als auch als Ringe isomorph). Hierbei sei [mm] $\mathfrak{p}$ [/mm] das maximale Ideal von [mm] $\IZ_p$. [/mm] Die [mm] $\IZ_p/\mathfrak{p}^n$ [/mm] sind endlich, also kompakt, und der projektive Limes von kompakten Raeumen ist kompakt.
Damit ist [mm] $\IZ_p$ [/mm] eine kompakte Nullumgebung von [mm] $\IQ_p$, [/mm] womit [mm] $\IQ_p$ [/mm] lokalkompakt ist (zu $a [mm] \in \IQ_p$ [/mm] ist $a + [mm] \IQ_p$ [/mm] eine kompakte Umgebung).
> 3. [mm]\IZ_{p}[/mm] Hauptidealring (ich weiß nicht, wie ich die
> Idale bestimmen kann)
> 4. [mm]\IZ_{p}[/mm] lokaler Ring (ich weiß, dass [mm]\IZ_{p}[/mm]
> Bewertungsring ist)
Du hast doch eine diskrete Bewertung auf [mm] $\IZ_p$, [/mm] naemlich [mm] $|\cdot|_p$. [/mm] Die Einheiten aus [mm] $\IZ_p$ [/mm] sind gerade die Elemente $x [mm] \in \IQ_p$ [/mm] mit [mm] $|x|_p [/mm] = 1$, und du siehst sofort wegen der nicht-archimedischen Dreiecksungleichung, dass die Elemente $x [mm] \in \IQ_p$ [/mm] mit [mm] $|x|_p [/mm] < 1$ ein Ideal in [mm] $\IZ_p$ [/mm] bilden. Dies sind gerade alle Nichteinheiten von [mm] $\IZ_p$, [/mm] womit [mm] $\IZ_p$ [/mm] ein lokaler Ring ist.
Jetzt nimm dir ein Element [mm] $\pi \in \IQ_p$ [/mm] mit [mm] $v_p(\pi) [/mm] = 1$. Dann kannst du jedes Element $x [mm] \in \IQ_p^*$ [/mm] eindeutig schreiben als $x = [mm] \pi^k [/mm] u$ mit $k [mm] \in \IZ$ [/mm] und $u [mm] \in \IZ_p^*$, [/mm] und $x [mm] \in \IZ_p$ [/mm] genau dann, wenn $k [mm] \ge [/mm] 0$ ist.
Damit kannst du nachrechnen, dass die Ideale in [mm] $\IZ_p$ [/mm] gerade von der Form [mm] $(\pi^k)$ [/mm] sind mit $k [mm] \in \IN_0$. [/mm] (Nimm dir ein Ideal [mm] $\mathfrak{a} \subseteq \IZ_p$, [/mm] betrachte ein Element $x [mm] \in \mathfrak{a}$ [/mm] mit [mm] $v_p(x)$ [/mm] maximal, und schreibe $x = [mm] \pi^k [/mm] u$ wie oben; zeige dann, dass [mm] $\mathfrak{a} [/mm] = [mm] (\pi^k)$ [/mm] ist.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Fr 29.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > 1. [mm]\IQ_{p}[/mm] nicht angeordnet
>
> Ich vermute mal, dass du ein Element konstruieren kannst,
> wessen Quadrat eine negative ganze Zahl ist. Hab aber grad
> keine Zeit darueber nachzudenken. Vielleicht weiss es ja
> jemand anders?
>
> Etwas konkreter:
> Sei [mm]a \in \{ 1, \dots, p-1 \}[/mm] so, dass [mm]x^2 + a[/mm] eine
> Loesung in [mm]\IZ/p[/mm] hat. Diese kannst du mit dem Henselschen
> Lemma fuer jedes [mm]k[/mm] zu einer Loesung in [mm]\IZ/p^k[/mm] liften,
> womit sich eine Loesung in [mm]\IZ_p[/mm] ergibt.
> (Wenn [mm]p = 2[/mm] ist musst du evtl. [mm]x^3 + a[/mm] nehmen oder so.)
Also fuer $p = 2$ bringt [mm] $x^3 [/mm] + a$ nix, da dritte Potenzen ja nicht weiter tragisch sind. Also fuer $p = 2$ muss man das wohl anders machen.
Fuer $p [mm] \neq [/mm] 2$ sollte $a = p-1$ taugen laut ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia (ganz unten).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:31 Mo 02.10.2006 | | Autor: | statler |
Hallo ihr 2 beiden!
Nach meinen sonntäglichen Forschungen müßte für p = 2 das Polynom [mm] x^{2} [/mm] + 7 eine Nullstelle haben. Man kann das mit dem 'Newton-Verfahren' anpacken, indem man z. B. mit der Näherungslösung x = 5 anfängt.
Also ist -7 ein Quadrat in [mm] \IQ_{p}, [/mm] sogar in [mm] \IZ_{p}.
[/mm]
Meine Frage dazu: Gibt es für die Lösung eine geschlossene Formel?
Literatur dazu: Serre, Cours d'Arithmétique chap 2
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Mo 02.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Dieter,
> Nach meinen sonntäglichen Forschungen müßte für p = 2 das
> Polynom [mm]x^{2}[/mm] + 7 eine Nullstelle haben. Man kann das mit
> dem 'Newton-Verfahren' anpacken, indem man z. B. mit der
> Näherungslösung x = 5 anfängt.
bist du dir sicher dass man das Newton-Verfahren hier anwenden kann? Schliesslich liegt die Ableitung von dem Polynom immer im maximalen Ideal... Oder uebersehe ich etwas?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:09 Mi 04.10.2006 | | Autor: | statler |
Saletti Felix!
> > Nach meinen sonntäglichen Forschungen müßte für p = 2 das
> > Polynom [mm]x^{2}[/mm] + 7 eine Nullstelle haben. Man kann das mit
> > dem 'Newton-Verfahren' anpacken, indem man z. B. mit der
> > Näherungslösung x = 5 anfängt.
>
> bist du dir sicher dass man das Newton-Verfahren hier
> anwenden kann? Schliesslich liegt die Ableitung von dem
> Polynom immer im maximalen Ideal... Oder uebersehe ich
> etwas?
Das stimmt zwar, macht aber nix! Jedenfalls nicht, wenn für den Startwert x der Funktionswert f(x) in einer deutlich höheren Potenz des maximalen Ideals liegt. Für x = 5 ist z. B. [mm] v_{2}(f(5)) [/mm] = [mm] v_{2}(32) [/mm] = 5 und damit [mm] v_{2}(\bruch{f(5)}{f'(5)}) [/mm] = 4 oder [mm] |\bruch{32}{10}|_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{16}, [/mm] also im 2-adischen Sinne klein.
Für x = 5 ergeben sich als weitere Näherungen 21, 53, 181, ...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 So 29.10.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo Felix und hallo Dieter,
ich habe noch einmal dringend zwei Fragen zu diesem Thema:
1. Könntet ihr mir folgendes noch einmal etwas näher erklären:
>Bist du dir sicher dass man das Newton-Verfahren hier anwenden kann?
>Schliesslich liegt die Ableitung von dem Polynom immer im maximalen
>Ideal. Das stimmt zwar, macht aber nix!
>Jedenfalls nicht, wenn für den Startwert x der Funktionswert f(x) in einer
>deutlich höheren Potenz des maximalen Ideals liegt.
Ich verstehe die Begründung nicht, weswegen das nicht weiter tragisch ist, dass die Ableitung im max. Ideal liegt.
2. Das Newton-Verfahren ist doch speziell für die Funktion [mm] $f(x)=x^2+7$ [/mm] mit Startwert [mm] $x_0=5$ [/mm] gegeben durch
[mm] $x_{n+1}=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n-\bruch{x_n^2+7}{2x_n}$
[/mm]
Eigentlich konvergiert es nur für Werte kleiner 0 anstelle der 7. Sei dies nun das Newton-Verfahren, dann bekomme ich keine Konvergenz. Wie ist der genaue
Ansatz damit das Verfahren in diesem Fall konvergiert?
Ich danke euch für eure Antwort.
Gruß Denny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:19 Di 31.10.2006 | | Autor: | statler |
Guten Tag Denny!
Zunächst zum Newton-Verfahren:
Das kann ich doch auch aus der Taylor-Reihe erklären. Ich habe eine Näherungslösung x und suche die verbesserte Lösung y = x+h. h berechne ich dann aus der abgebrochenen Taylor-Reihe:
f(y) = f(x+h) = f(x) + h*f'(x) + [mm] h^{2}*[...]
[/mm]
Aus f(y) = 0 folgt dann h = [mm] -\bruch{f(x)}{f'(x)} [/mm] und damit die bekannte Formel. Diese Vorgehensweise imitiere ich jetzt. Dazu übersetze ich einfach das Lemma aus dem o. a. Buch von Serre.
Sei f [mm] \in \IZ_{p}[X] [/mm] und sei f' die Ableitung. Seien x [mm] \in \IZ_{p}, [/mm] n, k [mm] \in \IZ [/mm] derart, daß 0 [mm] \le [/mm] 2k < n, f(x) [mm] \equiv [/mm] 0 (mod [mm] p^{n}),[/mm] [mm]v_{p}(f'(x))[/mm] = k. Dann gibt es y [mm] \in \IZ_{p} [/mm] derart, daß:
f(y) [mm] k\equiv [/mm] 0 (mod [mm] p^{n+1})
[/mm]
[mm] v_{p}(f'(y)) [/mm] = k und y [mm] \equiv [/mm] x (mod [mm] p^{n-k})
[/mm]
Beweis folgt evtl. später, er benutzt den Ansatz y = x + [mm] p^{n-k}*z.
[/mm]
Hier ist f(X) = [mm] X^{2} [/mm] + 7, x = 5, n = 5, k = 1
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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