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Hallo,
wir beschäftigen uns gerade mit Gruppen, und ich hätte eine Frage zu folgenden Eigenschaften von Gruppen:
Nehmen wir an, A = [mm] [/mm] wäre eine Gruppe. Dann gilt:
1 # Für alle a [mm] \in [/mm] S: a = (a^-1)^-1 (Involutionsgesetz)
2 # Für alle a, a',b [mm] \in [/mm] S gilt (Kürzungsregel) :
[mm] a\circ [/mm] b = a' [mm] \circ [/mm] b [mm] \to [/mm] a = a'
b [mm] \circ [/mm] a = b [mm] \circ [/mm] a' [mm] \to [/mm] a = a'
3 # Für alle a,x,b [mm] \in [/mm] S gilt (eindeutige Lösbarkeit linearer Glgn):
a [mm] \circ [/mm] x = b [mm] \to [/mm] x = a^-1 [mm] \circ [/mm] b
x [mm] \circ [/mm] a = b [mm] \to [/mm] x = b [mm] \circ [/mm] a^-1
4 # Für alle a,b,c [mm] \in [/mm] S gilt (Injektivität der Operation [mm] \circ [/mm] ):
a [mm] \not= [/mm] b [mm] \gdw [/mm] a [mm] \circ [/mm] c [mm] \not= [/mm] b [mm] \circ [/mm] c [mm] \gdw [/mm] c [mm] \circ [/mm] a [mm] \not= [/mm] c [mm] \circ [/mm] b
5 # Für alle a,b [mm] \in [/mm] S gilt (Surjektivität der Operation [mm] \circ [/mm] ):
[mm] (\exists [/mm] x) (a [mm] \circ [/mm] x = b) und [mm] (\exists [/mm] y) (y [mm] \circ [/mm] a = b)
Also, was mir bisher dazu so einfällt:
Bei 1#
Ich nehm ich mal an, dass es vergleichbar ist mit dem booleschen
[mm] \neg(\neg [/mm] a) = a also das die doppelte Verneinung wieder das ursprüngliche ergibt
Bei 2#
Ich weiß nicht was a' sein soll ... Aber so wies aussieht, scheint a ' = a, da bei einer Verknüpfung mit b beide gleich sind. Da b konstant ist, müssten a und a' folglich identisch sein - oder ? Das das ganze noch kommutativ gilt (zweite Reihe) wäre ja dann klar.
Bei 3#
Ich bin mir nicht sicher wie der " [mm] \to [/mm] " Pfeil hier zu interpretieren ist - ausgesprochen würde es ja heißen "Impliziert".Kann man sich das wie eine Gleichung vorstellen ? also derart, dass:
b = a [mm] \circ [/mm] x //Nun bringen wir a auf die andere Seite um nach x aufzulösen
x = b [mm] \circ [/mm] (-a)
Nur das eben statt des "Minus a" ein a^-1 geschrieben wird, da wir ja von der Verknüpfung nicht wissen was sie ist (also ob plus, mal ect...)
richtig so oder nicht  ?
Bei 4#
Injektiv heißt ja, dass keine zwei Elemente der Urbildmenge auf das gleiche Element der Bildmenge abgebildet werden. So erhalten wir eine eindeutige
Zuordnung. b ist also NICHT a, daraus folgt dann,
dass a verknüpft mit b nicht das selbe Ergebnis liefert wie b verknüpft mit c - da a und b ja unterschiedlich sind. Und das ganze auch wieder assoziativ.
Bei 5#
Es gibt mindestens ein x für das gilt, a verknüpft mit x ergibt b. Und es gibt mindestens ein y für das gilt a verknüpft mit y ergibt auch b.
Das würde für mich zweierlei bedeuten:
b wird mindestens zweimal getroffen. Nämlich einmal über die verknüpfung von a mit y und einmal über a mit x. Surjektiv heißt ja, dass jedes Element der Bildmenge MINDESTENS EINMAL getroffen werden muss.
Wenn b zweimal getroffen wird, ist es in jedem Fall surjektiv - oder XD ?
Okay, das wäre es erstmal - ich wäre dankbar, wenn jemand schauen könnte, ob meine Annahmen korrekt sind .
Vielen dank im Voraus,
Gruss,
FraMewOoD
P.s.Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo fraMewOoD,
> Hallo,
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> wir beschäftigen uns gerade mit Gruppen, und ich hätte
> eine Frage zu folgenden Eigenschaften von Gruppen:
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> Nehmen wir an, A = [mm][/mm] wäre eine Gruppe. Dann gilt:
>
> 1 # Für alle a [mm]\in[/mm] S: a = (a^-1)^-1 (Involutionsgesetz)
>
> 2 # Für alle a, a',b [mm]\in[/mm] S gilt (Kürzungsregel) :
> [mm]a\circ[/mm] b = a' [mm]\circ[/mm] b [mm]\to[/mm] a = a'
> b [mm]\circ[/mm] a = b [mm]\circ[/mm] a' [mm]\to[/mm] a = a'
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> 3 # Für alle a,x,b [mm]\in[/mm] S gilt (eindeutige Lösbarkeit
> linearer Glgn):
> a [mm]\circ[/mm] x = b [mm]\to[/mm] x = a^-1 [mm]\circ[/mm] b
> x [mm]\circ[/mm] a = b [mm]\to[/mm] x = b [mm]\circ[/mm] a^-1
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> 4 # Für alle a,b,c [mm]\in[/mm] S gilt (Injektivität der Operation
> [mm]\circ[/mm] ):
> a [mm]\not=[/mm] b [mm]\gdw[/mm] a [mm]\circ[/mm] c [mm]\not=[/mm] b [mm]\circ[/mm] c [mm]\gdw[/mm] c
> [mm]\circ[/mm] a [mm]\not=[/mm] c [mm]\circ[/mm] b
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> 5 # Für alle a,b [mm]\in[/mm] S gilt (Surjektivität der Operation
> [mm]\circ[/mm] ):
> [mm](\exists[/mm] x) (a [mm]\circ[/mm] x = b) und [mm](\exists[/mm] y) (y
> [mm]\circ[/mm] a = b)
>
> Also, was mir bisher dazu so einfällt:
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> Bei 1#
>
> Ich nehm ich mal an, dass es vergleichbar ist mit dem
> booleschen
> [mm]\neg(\neg[/mm] a) = a also das die doppelte Verneinung wieder
> das ursprüngliche ergibt
Nein.
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> Bei 2#
>
> Ich weiß nicht was a' sein soll ... Aber so wies aussieht,
> scheint a ' = a, da bei einer Verknüpfung mit b beide
> gleich sind. Da b konstant ist, müssten a und a' folglich
> identisch sein - oder ? Das das ganze noch kommutativ gilt
> (zweite Reihe) wäre ja dann klar.
Nee, das hat damit nix zu tun. Ist $e$ das neutrale Element in $S$, dann gilt [mm] $a=a\circ [/mm] e [mm] =a\circ [/mm] (b [mm] \circ b^{-1})=(a \circ [/mm] b) [mm] \circ b^{-1}=(a'\circ b)\circ b^{-1}=a' \circ (b\circ b^{-1}) [/mm] =a'$.
>
> Bei 3#
>
> Ich bin mir nicht sicher wie der " [mm]\to[/mm] " Pfeil hier zu
> interpretieren ist - ausgesprochen würde es ja heißen
> "Impliziert".Kann man sich das wie eine Gleichung
> vorstellen ? also derart, dass:
>
> b = a [mm]\circ[/mm] x //Nun bringen wir a auf die andere Seite um
> nach x aufzulösen
> x = b [mm]\circ[/mm] (-a)
>
> Nur das eben statt des "Minus a" ein a^-1 geschrieben wird,
> da wir ja von der Verknüpfung nicht wissen was sie ist
> (also ob plus, mal ect...)
> richtig so oder nicht ?
Ähm, wo steckt in den Voraussetzungen zu 3) oder $S$, daß [mm] $b\circ a^{-1}=a^{-1} \circ [/mm] b$ ist?
>
Ehrlich gesagt weiß ich nicht recht, was Du willst.
Mfg
zahlenspieler
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@Zahlenspieler:
Okay, um genau zu sein: Ich habe ein Script-Blatt - auf dem stehten die Punkte 1 bis 5. Nur kapier ich nich twas die bedeuten.
Ich wollte nicht einfach die 5 punkte hinschreiben und um eine Erklärung bitten, sondern zeigen, dass ich mir auch selbst Gedanken dazu gemacht habe.
Deine Antworten helfen mir leider nicht die Sachen zu verstehen :-(. Welche von meinen Vermutungen zu den 5 Punkten sind denn falsch ? Alle ?
Und das versteh ich ebenfalls nicht, dur schreibst:
>Nee, das hat damit nix zu tun. Ist e das neutrale Element in S, dann gilt $ [mm] >a=a\circ [/mm] e [mm] =a\circ [/mm] (b [mm] \circ b^{-1})=(a \circ [/mm] b) [mm] \circ b^{-1}=(a'\circ b)\circ >b^{-1}=a' \circ (b\circ b^{-1}) [/mm] =a' $.
Aber ich seh in deiner Gleichung nirgends das Element e - also in wiefern ist es denn dann relevant ?
Gruss,
Framewood
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> @Zahlenspieler:
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> Okay, um genau zu sein: Ich habe ein Script-Blatt - auf dem
> stehten die Punkte 1 bis 5. Nur kapier ich nich twas die
> bedeuten.
>
> Ich wollte nicht einfach die 5 punkte hinschreiben und um
> eine Erklärung bitten, sondern zeigen, dass ich mir auch
> selbst Gedanken dazu gemacht habe.
>
> Deine Antworten helfen mir leider nicht die Sachen zu
> verstehen :-(. Welche von meinen Vermutungen zu den 5
> Punkten sind denn falsch ? Alle ?
OK, zu 4) bzw. 5): Betrachte mal die Abbildungen [mm] $f_a: [/mm] S [mm] \to [/mm] S, x [mm] \mapsto [/mm] a [mm] \circ [/mm] x$ und [mm] $g_a: [/mm] S [mm] \to [/mm] S, x [mm] \mapsto [/mm] x [mm] \circ [/mm] a$. Dann sagen Nr. 4) und 5) aus, daß [mm] $f_a, g_a$ [/mm] injektiv bzw. surjektiv sind.
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> Und das versteh ich ebenfalls nicht, dur schreibst:
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>
> >Nee, das hat damit nix zu tun. Ist e das neutrale Element
> in S, dann gilt [mm]>a=a\circ e =a\circ (b \circ b^{-1})=(a \circ b) \circ b^{-1}=(a'\circ b)\circ >b^{-1}=a' \circ (b\circ b^{-1}) =a' [/mm].
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> Aber ich seh in deiner Gleichung nirgends das Element e -
> also in wiefern ist es denn dann relevant ?
Steht aber da :-(.
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>Steht aber da :-(.
Sorry  hast ja recht, hatte es beim ersten Mal glatt überlesen .
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> OK, zu 4) bzw. 5): Betrachte mal die Abbildungen [mm]f_a: S \to S, x \mapsto a \circ x[/mm]
> und [mm]g_a: S \to S, x \mapsto x \circ a[/mm]. Dann sagen Nr. 4)
> und 5) aus, daß [mm]f_a, g_a[/mm] injektiv bzw. surjektiv sind.
Also kann ich das so verstehen, dass bei der injektiven Operation zwei Verknüpfungen immer auf ein anderes Ergebnis kommen ? Denn das entspräche dann ja der Injektivität.
Bei der surjektiven Operation ist es denn also so, dass man einmal durch die Verknüpfung mit x, a und einmal durch die Verknüpfung mit ya auf das Ergebnis b kommt?
Vielen Dank nochmal für die Hilfe !
Gruss, Framewood
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 25.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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