Eigenschaften von Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeige:
i) Ist p>3 eine Primzahl, so ist [mm] p\equiv \pm [/mm] 1 (mod 6)
ii) Für bel. Primzahlen [mm] p_1,...,p_n [/mm] besitzt die Zahl
[mm] a=6p_1*...*p_n-1
[/mm]
einen Primfaktor p mit [mm] p\equiv [/mm] -1 (mod 6).
iii) Es gibt unendlich viel Primzahlen der Form 6x+5 mit [mm] x\in \IN. [/mm] |
Hi, zu dieser Aufgabe habe ich folgende Lösung.
i)
Ist [mm] a\in \IN [/mm] mit [mm] a\equiv [/mm] 0,2,3,4 (mod 6), dann gilt:
2|a und 3|a und daraus folgt sofort [mm] p\equiv \pm [/mm] 1 (mod 6)
ii)
Man weiß, dass 2|6 und 3|6. Daraus folgt aber, dass 2 und 3 a nicht teilen.
=> alle Primfaktoren von a sind >3.
Mit i) folgt: Alle Primfaktoren sind [mm] \equiv \pm [/mm] 1 (mod 6).
Aber [mm] a\equiv [/mm] -1 (mod 6)
=> Es igbt einen Primfaktor p von a mit [mm] p\equiv [/mm] -1 (mod 6)
So, diese Lösungen verstehe ich leider nicht so. Fangen wir mir i) an. Hier ist die Lösung ja ziemlich knapp.
Wieso folgt denn aus
> Ist [mm] a\in \IN [/mm] mit [mm] a\equiv [/mm] 0,2,3,4 (mod 6), dann gilt:
dass
2|a und 3|a gilt?? und wieso folgt daraus sofort
> [mm] p\equiv \pm [/mm] 1 (mod 6)
Könnt ihr mir das vielleicht erklären?
Grüße
|
|
| |
|
Hallo steve.joke,
> Zeige:
>
> i) Ist p>3 eine Primzahl, so ist [mm]p\equiv \pm[/mm] 1 (mod 6)
>
> ii) Für bel. Primzahlen [mm]p_1,...,p_n[/mm] besitzt die Zahl
>
> [mm]a=6p_1*...*p_n-1[/mm]
>
> einen Primfaktor p mit [mm]p\equiv[/mm] -1 (mod 6).
>
> iii) Es gibt unendlich viel Primzahlen der Form 6x+5 mit
> [mm]x\in \IN.[/mm]
> Hi, zu dieser Aufgabe habe ich folgende
> Lösung.
>
> i)
>
> Ist [mm]a\in \IN[/mm] mit [mm]a\equiv[/mm] 0,2,3,4 (mod 6), dann gilt:
>
> 2|a und 3|a und daraus folgt sofort [mm]p\equiv \pm[/mm] 1 (mod 6)
>
>
> ii)
>
> Man weiß, dass 2|6 und 3|6. Daraus folgt aber, dass 2 und
> 3 a nicht teilen.
>
> => alle Primfaktoren von a sind >3.
>
> Mit i) folgt: Alle Primfaktoren sind [mm]\equiv \pm[/mm] 1 (mod
> 6).
>
> Aber [mm]a\equiv[/mm] -1 (mod 6)
>
> => Es igbt einen Primfaktor p von a mit [mm]p\equiv[/mm] -1 (mod 6)
>
>
> So, diese Lösungen verstehe ich leider nicht so. Fangen
> wir mir i) an. Hier ist die Lösung ja ziemlich knapp.
>
> Wieso folgt denn aus
>
> > Ist [mm]a\in \IN[/mm] mit [mm]a\equiv[/mm] 0,2,3,4 (mod 6), dann gilt:
>
> dass
>
> 2|a und 3|a gilt??
Steht da wirklich "und" oder doch vll. "oder"?
Nun, es gilt zwar für [mm]a\equiv 0 \ \operatorname{mod}(6)[/mm], dass [mm]6\mid a[/mm] und weiter:
[mm]2,3\mid 6[/mm], also wegen der Transitivität der Teilbarkeitsrelation auch [mm]2,3\mid a[/mm]
Aber wie ist es in den anderen Fällen?
Etwa für [mm]a\equiv 2 \ \operatorname{mod}(6)[/mm]
zB. [mm]a=8[/mm] passt, denn [mm]6\mid (8-2)[/mm]
Es ist zwar [mm]2\mid 8[/mm], aber [mm]3\not| \ 8[/mm]
> und wieso folgt daraus sofort
>
> > [mm]p\equiv \pm[/mm] 1 (mod 6)
Nun, wenn für [mm]p>3[/mm] gilt: [mm]p\equiv 0,2,3,4 \ \operatorname{mod}(6)[/mm] , so ist wegen [mm]2\mid p[/mm] "oder" [mm]3\mid p[/mm] doch p nicht prim.
p>3 kann bei Division durch 6 also nur Rest 1 oder 5 ([mm]\equiv -1 \ \operatorname{mod}(6)[/mm]) lassen ...
>
> Könnt ihr mir das vielleicht erklären?
>
> Grüße
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hi,
> Steht da wirklich "und" oder doch vll. "oder"?
Ohh, da hast du natürlich recht gehabt, da steht oder. habe mich da verguckt.
Mal eine andere Frage jetzt. Wieso betrachten die eigentlich hier
> Ist $ [mm] a\in \IN [/mm] $ mit $ [mm] a\equiv [/mm] $ 0,2,3,4 (mod 6)
die Zahlen 0,2,3,4??? Liegt das daran, dass p>3 ist und man alle Zahle [mm] \le [/mm] 3 betrachten muss? Aber dann wieso die 4?
> so ist wegen $ [mm] 2\mid [/mm] p $ "oder" $ [mm] 3\mid [/mm] p $ doch p nicht prim.
> p>3 kann bei Division durch 6 also nur Rest 1 oder 5
Das verstehe ich immer noch nicht so ganz. Wieso folgt aus $ [mm] 2\mid [/mm] p $ "oder" $ [mm] 3\mid [/mm] p $ , dass bei Division mit 6 nur Rest 1 oder 5 herauskommen kann????
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Do 23.06.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Mal eine andere Frage jetzt. Wieso betrachten die
> eigentlich hier
>
> > Ist [mm]a\in \IN[/mm] mit [mm]a\equiv[/mm] 0,2,3,4 (mod 6)
>
> die Zahlen 0,2,3,4??? Liegt das daran, dass p>3 ist und man
> alle Zahle [mm]\le[/mm] 3 betrachten muss? Aber dann wieso die 4?
Daran liegt es nicht, sondern weil wir a eben modulo 6 betrachten. Modulo 6 gibt es in [mm] $\IZ$ [/mm] nur die Restklassen $0,1,2,3,4,5$, da eben $6 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \;(mod \;6), [/mm] 7 [mm] \equiv 1\;(mod \;6), \ldots$
[/mm]
Jede natürliche Zahl ist also kongruent zu $0,1,2,3,4$ oder $5$. Nun sollst du ja zeigen, dass eine Primzahl immer kongruent 1 oder -1 modulo 6 ist. wobei natürlich $-1 [mm] \equiv 5\;(mod \;6)$.
[/mm]
Wir zeigen, dass wenn eine Zahle prim ist, sie eben nicht zu $0,2,3,4$ kongruent sein kann, also muss die kongruent 1 oder -1 modulo 6 sein.
> > so ist wegen [mm]2\mid p[/mm] "oder" [mm]3\mid p[/mm] doch p nicht prim.
> > p>3 kann bei Division durch 6 also nur Rest 1 oder 5
>
> Das verstehe ich immer noch nicht so ganz. Wieso folgt aus
> [mm]2\mid p[/mm] "oder" [mm]3\mid p[/mm] , dass bei Division mit 6 nur Rest 1
> oder 5 herauskommen kann????
Das folgt nicht! Sondern: wenn $p [mm] \equiv [/mm] 0,2,4 [mm] \;(mod \;6)$ [/mm] ist, dass ist p gerade und foglich nicht prim, da p ja größer 2. Ist $p [mm] \equiv [/mm] 3 [mm] \;(mod \;6)$ [/mm] so ist p durch 3 teilbar und somit nicht prim. p kann also nicht [mm] $\equiv [/mm] 0,2,3,4 [mm] \;(mod \;6)$ [/mm] sein, also muss $p [mm] \equiv [/mm] -1,1$ gelten.
LG Lippel
|
|
|
| |
|
Hi Lippel,
vielen Dank für die gute Erklärung.
Zu Teil ii) hätte ich dann auch noch eine Frage.
> Man weiß, dass 2|6 und 3|6. Daraus folgt aber, dass 2 und 3 a nicht teilen.
> => alle Primfaktoren von a sind >3.
> Mit i) folgt: Alle Primfaktoren sind $ [mm] \equiv \pm [/mm] $ 1 (mod 6).
> Aber $ [mm] a\equiv [/mm] $ -1 (mod 6)
> => Es igbt einen Primfaktor p von a mit $ [mm] p\equiv [/mm] $ -1 (mod 6)
Wieso gilt der erste Teil?? wir haben ja [mm] a=6p_1\cdot{}...\cdot{}p_n-1 [/mm]
So, 6 ist durch 2 und 3 teilbar, also muss doch eigentlich auch a durch 2 und 3 teilbar sein, oder nicht?
Also
[mm] \bruch{a}{2}=\bruch{6}{2}p_1\cdot{}...\cdot{}p_n-\bruch{1}{2}
[/mm]
und das gleiche dann auch mit der 3? Wieso geht denn das nicht??
Grüße
|
|
|
| |
|
>wir haben ja
> [mm]a=6p_1\cdot{}...\cdot{}p_n-1[/mm]
>
> So, 6 ist durch 2 und 3 teilbar, also muss doch eigentlich
> auch a durch 2 und 3 teilbar sein, oder nicht?
>
> Also
>
> [mm]\bruch{a}{2}=\bruch{6}{2}p_1\cdot{}\hdots\cdot{}p_n-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> und das gleiche dann auch mit der 3? Wieso geht denn das
> nicht??
>
Die natürliche Zahl a ist durch 2 teilbar, wenn [mm]\frac{a}{2} \in \IN[/mm], also wenn [mm]\frac{a}{2}[/mm] wiederrum eine natürliche Zahl ist.
Da [mm]\frac{6}{2} = 3[/mm] eine natürliche Zahl ist, ist auch [mm]\frac{6}{2}p_1*\hdots*p_n[/mm] eine natürliche Zahl.
Nun ziehst du von dieser natürlichen Zahl [mm]\frac{1}{2}[/mm] ab...
Wie kann dann das was rauskommt immernoch eine natürliche Zahl sein?
Also als Beispiel: [mm]2154 \in \IN[/mm], [mm]2154 - \frac{1}{2} = 2153.5 \not \in \IN[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 So 26.06.2011 | | Autor: | steve.joke |
achso,
ok, danke dir.
grüße
|
|
|
|
