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Hallo zusammen
Muss in der nächsten Serie diverse Eigenschaften der Exponentialfunktion beweisen. Hänge aber an 2 Eigenschaften fest und zwar:
1) exp(n) = [mm] e^n, n\in \IZ
[/mm]
2) |exp(ix)|=1, [mm] x\in \IR
[/mm]
Ich habe zu 1 folgendes gedacht:
Für n=0:
[mm] exp(0)=1=e^0
[/mm]
Für n>0:
[mm] exp(n)=exp(1+........+1)=exp(1)*exp(1)*.....*exp(1)=(exp(1))^n [/mm] und da exp(1)=e [mm] \Rightarrow exp(n)=e^n
[/mm]
Nun fehlt aber noch n<0. Wie kann ich dies zeigen, bzw. stimmt das obige so?
Und wie kann ich 2 zeigen?
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 So 10.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1-wie ist denn exp(x) definiert?
aber normalerweise [mm] e^n*e^{-n}=1
[/mm]
2. ist falsch, also kannst du es nicht beweisen
edit ich hatte den Betrag übersehen die Behauptung ist richtig
Gruss leduart
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Hallo
Ich denke nicht, dass 2 falsch ist, denn es steht so in unserem Buch, welches die Vorlesung begleitet. ??
Oder wieso meinst du, dass es falsch sein sollte?
Und zu 1
exp(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^n}{n!}
[/mm]
Wie soll ich jetzt aber das ganze für n<0 beweisen?
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 So 10.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
>
> Ich denke nicht, dass 2 falsch ist, denn es steht so in
> unserem Buch, welches die Vorlesung begleitet. ??
ist es auch nicht, ich denke, Leduart hat sich einfach verlesen (vielleicht $x [mm] \in \IR$
[/mm]
überlesen). Geometrisch ist es sogar klar, dass [mm] $|\exp(ix)|=1\,,$ [/mm] da bekanntlich
[mm] $\exp(ix)=\cos(x)+i\sin(x)\,$ [/mm] ($xs [mm] \in \IR$)
[/mm]
gilt - denn geometrisch kennt man ja den trigonmetrischen Pythagoras.
Aber bevor Du denkst: "Beweisen wir das halt geometrisch!"; Nein:
Genau den sollt ihr hier - algebraisch - beweisen!!
> Oder wieso meinst du, dass es falsch sein sollte?
>
> Und zu 1
> exp(x) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^n}{n!}[/mm]
> Wie soll
> ich jetzt aber das ganze für n<0 beweisen?
Du sollst
[mm] $\exp(n)=e^n$
[/mm]
für alle $n [mm] \in \IZ$ [/mm] beweisen.
Sicherlich habt ihr schon
[mm] $\exp(w+z)=\exp(w)*\exp(z)$ [/mm] für alle $w,z [mm] \in \IC$
[/mm]
bewiesen. (Wenn nicht: Stichwort Cauchyprodukt!) Dann reicht es - wenn
man das von Leduart Gesagte heranzieht - dass Du nur
[mm] $\exp(n)=e^n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] (oder nur $n [mm] \in \IN$)
[/mm]
beweist (der Fall n=0 ist ja einfach).
Jetzt ist aber die Frage, wie ihr [mm] $e\,$ [/mm] definiert habt?
Vielleicht habt ihr einfach
[mm] $e:=\exp(1)$
[/mm]
gesetzt - oder aber ihr habt
[mm] $e:=\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^n$
[/mm]
oder
[mm] $e:=\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^{n+1}$
[/mm]
gesetzt. Ohne, dass wir das wissen, kommen wir nicht wirklich weiter.
Wie kannst Du nun die Aufgabe lösen? Naja, etwa so:
Es wäre schön, [mm] $e=\exp(1)\,$ [/mm] zu wissen. Wenn das per Definitionem gilt, ist das
schön - andernfalls, etwa wenn [mm] $e=\lim (1+1/n)^n$ [/mm] ist, hat man einiges zu tun,
siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) Satz 7.4.
Jetzt führst Du zuerst einen Induktionsbeweis:
Behauptung: [mm] $\exp(n)=e^n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN_0.$
[/mm]
Beweis: Für n=0 ist [mm] $\exp(0)=\sum... [/mm] =1+0+0+...=0$ und [mm] $e^0=1$ [/mm] klar.
Für n=1 gilt [mm] $e=\exp(1)$ [/mm] wegen .... (naja, das steht bei Dir auf der TODO-Liste,
das rauszufinden, denn ich kenne Euren Wissenstand nicht!)
$n [mm] \to [/mm] n+1:$
Sei also $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\exp(n)=e^n\,.$ [/mm] Dann gilt
[mm] $\exp(n+1)=\exp(n)*\exp(1)=...$
[/mm]
Bekommst Du den Induktionsbeweis damit fertig?
Damit weißt Du dann erstmal "nur"
[mm] $e^n=\exp(n)$
[/mm]
für alle $n [mm] \in \red{\IN_0}.$
[/mm]
Wie kommt man nun auf $n [mm] \in \IZ$? [/mm] Naja, ganz einfach:
Ist $m [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $m < [mm] 0\,,$ [/mm] so ist $-m [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Dann haben wir sowohl
[mm] $1=\exp(0)=\exp(m+(-m))=\exp(m)*\underbrace{\exp(-m)}_{=e^{-m}}$
[/mm]
als auch
[mm] $1=e^{0}=e^{m+(-m)}=e^{m}*e^{-m}\,.$
[/mm]
Also?
(P.S. Beachte: Weil $m [mm] \in \IZ$ [/mm] und $m < [mm] 0\,$ [/mm] ist, ist $-m [mm] \in \IN$ [/mm] und dann wissen
wir hier [mm] $\exp(-m)=e^{-m}$ [/mm] wegen des Induktionsbeweises!)
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel!
Vielen Dank für deine Ausführungen (Auch allen anderen ein grosses Dankeschön!!!)
Habe nun die 2 lösen können und auch die 1, jedoch nur soweit, dass [mm] n\in\IN_{0}.
[/mm]
Denn obwohl wir e definiert haben als: [mm] e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] war es nicht schwierig zu zeigen, dass
exp(1)=e, da wir in einer früheren Serie gezeigt haben, dass [mm] e=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n!}
[/mm]
Kann ich den jetzt für [mm] n\in -\IN [/mm] einfach hinschreiben:
Ist m [mm] \in \IZ [/mm] mit m < 0, so ist -m [mm] \in \IN, [/mm] und wegen des Induktionsbeweises folgt, dass [mm] exp(-m)=e^{-m} [/mm]
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Di 12.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wir wissen doch schon:
exp(n)=e^n für jedes n \in \IN_0.
Ist nun m \in \IZ und m<0, so ist-m \in \IN, damit ist
exp(-m)=e^{-m}
Nun hat Marcel Dir folgendes vor gemacht:
$ 1=exp(0)=exp(m+(-m))=exp(m)\cdot{}exp(-m)}=exp(m)*e^{-m} $
Dann folgt: exp(m)=e^{m}
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Di 12.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel!
>
> Vielen Dank für deine Ausführungen (Auch allen anderen
> ein grosses Dankeschön!!!)
>
> Habe nun die 2 lösen können und auch die 1, jedoch nur
> soweit, dass [mm]n\in\IN_{0}.[/mm]
> Denn obwohl wir e definiert haben als:
> [mm]e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n}[/mm] war es
> nicht schwierig zu zeigen, dass
> exp(1)=e, da wir in einer früheren Serie gezeigt haben,
> dass [mm]e=\summe_{n=\red{1}}^{\infty}\bruch{1}{n!}[/mm]
ne, es wäre
[mm] $e\red{\;-\;1}=\sum_{n=\text{\blue{1}}}^\infty \frac{1}{n!}\,.$
[/mm]
Bitte beachte $1/(0!)=1/1 [mm] \not=0$ [/mm] 
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 So 10.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieso siehst du aus dieser Darstellung exp(z)=$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^n}{n!} [/mm] $ dass exp(1+1+1)=exp(3)
sorry für meine letzte -falsche- Antwort, ich hatte den Betrag übersehen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 So 10.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> wieso siehst du aus dieser Darstellung exp(z)=[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^n}{n!}[/mm]
> dass exp(1+1+1)=exp(3)
ich verstehe hier - ehrlich gesagt - Deine Rückfrage nicht. Dass
[mm] $\exp(3)=\exp(1+1+1)$ [/mm] ist, liegt an der Tatsache, dass [mm] $1+1+1=3\,$ [/mm] ist.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 So 10.11.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> 2. ist falsch, also kannst du es nicht beweisen
Nein, 2. ist definitiv richtig.
LG Felix
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Hallo,
du könntest dich hier sicherlich dieser Identität bedienen:
[mm] e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}
[/mm]
Nun kannst du leicht den Betrag bilden und dann den trigonom. Satz des Pythagoras bemühen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 So 10.11.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Muss in der nächsten Serie diverse Eigenschaften der
> Exponentialfunktion beweisen. Hänge aber an 2
> Eigenschaften fest und zwar:
> 1) exp(n) = [mm]e^n, n\in \IZ[/mm]
Verwende [mm] $\exp(a [/mm] + b) = [mm] \exp(a) \exp(b)$ [/mm] und $e = [mm] \exp(1)$.
[/mm]
> 2) |exp(ix)|=1, [mm]x\in \IR[/mm]
Zeige zuerst [mm] $\overline{\exp(ix)} [/mm] = [mm] \exp(-ix)$.
[/mm]
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 So 10.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen
>
> Muss in der nächsten Serie diverse Eigenschaften der
> Exponentialfunktion beweisen. Hänge aber an 2
> Eigenschaften fest und zwar:
> 1) exp(n) = [mm]e^n, n\in \IZ[/mm]
> 2) |exp(ix)|=1, [mm]x\in \IR[/mm]
> Und wie kann ich 2 zeigen?
wegen
[mm] $|\exp(ix)|=1$ $\iff$ $|\exp(ix)|^2=1$ $\iff$ $\exp(ix)*\overline{\exp(ix)}=1$
[/mm]
reicht es, die letzte Gleichung rechterhand, also:
[mm] $\exp(ix)*\overline{\exp(ix)}=1$
[/mm]
zu beweisen. Felix hat Dir dafür eine gute Hilfestellung gegeben!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:59 So 10.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen
>
> Muss in der nächsten Serie diverse Eigenschaften der
> Exponentialfunktion beweisen. Hänge aber an 2
> Eigenschaften fest und zwar:
> 1) exp(n) = [mm]e^n, n\in \IZ[/mm]
> 2) |exp(ix)|=1, [mm]x\in \IR[/mm]
>
> Ich habe zu 1 folgendes gedacht:
> Für n=0:
> [mm]exp(0)=1=e^0[/mm]
> Für n>0:
>
> [mm]exp(n)=exp(1+........+1)=exp(1)*exp(1)*.....*exp(1)=(exp(1))^n[/mm]
das fände ich übrigens auch okay. (Du solltest aber sowas wie [mm] $\underbrace{1+1+...+1}_{n \text{ Stück}}$ [/mm]
schreiben...)
Aber meist will man hier einen Induktionsbeweis sehen und wird Dir das
Obige anstreichen, so nach dem Motto: Erst, wenn Du genügend oft
bewiesen hast, dass Dir der Induktionsbeweis klar ist, dann darfst Du
obige "Kurzfassung" eines (nicht ganz sauberen) Induktionsbeweises
verwenden.
Was Du hier übrigens tust, und das ist es, was man durchaus bemängeln
könnte:
Du schließt aus dem Wissen, dass
[mm] $\exp(w+z)=\exp(w)*\exp(z)$ [/mm] für alle [mm] $w,z\in \IC$
[/mm]
also dass diese Formel "fur zwei komplexe Zahlen" gilt, dass sie auch für
endlich viele [mm] $z_n \in \IC\,,$ [/mm] seien diese [mm] $z_1,...,z_N \in \IC,$ [/mm] gilt:
[mm] $\exp(\sum_{n=1}^N z_n)=\produkt_{n=1}^N \exp(z_n)\,.$
[/mm]
Sowas wirst Du später durchaus auch "einfach in entsprechenden Situation
(analog) machen dürfen", aber das "darf" man halt erst ab einem gewissen
"Bildungsgrad". Wobei ich denke, dass hier keiner der Korrekteure Dir da
mehr als 'nen halben Punkt für abziehen würde, wenn er der Meinung ist,
dass ihr das bei Eurem aktuellen Standpunkt noch nicht dürft.
Übrigens wird das durchaus auch deshalb oft bemängelt, weil man beim
etwa beim Übergang von [mm] $2\,$ [/mm] Summanden zu einer Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty$
[/mm]
oft dann in Versuchung rät, das auch in unbedachter Weise zu analogisieren,
wobei man hier aber in Probleme kommen kann (alleine schon wegen
Konvergenzproblemen).
Gruß,
Marcel
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