Eigenvekt.- u. Werte A u. A^-1 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweis des Zusammenhangs zwischen Eigenvektoren und Eigenwerten der Matrizen A und A^(-1) |
Hallo,
ich schreibe Dienstag eine Klausur und unser Dozent hat uns schon ein paar Tipps bezüglich der Inhalte gegeben.
Die anderen Fragenstellungen konnte ich lösen. Jedoch komme ich bei der genannten Aufgabenstellung einfach nicht auf den Ansatz.
Es wäre schön, wenn mir jemand hier einen Beweis liefern könnte.
Ich habe auch schon ein paar Leute bei uns aus dem Kurs gefragt. Jedoch konnte mir leider keiner helfen :/
Vielen Dank im Voraus.
Tobias
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi!
Erstmal: EW und EV von Matrixen gehört wohl eher zur Linearen Algebra.
Meinst du mit Zusammenhang zwischen EW und EV von A und [mm] A^{-1}:
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] EW von A zum EV x [mm] \Rightarrow \frac{1}{\lambda} [/mm] EW von [mm] A^{-1} [/mm] zum EV x ?
Wenn A invertierbar ist sind alle [mm] EW\not=0, [/mm] dann gilt:
[mm] Ax=\lambda{}x [/mm]
[mm] \gdw A^{-1}Ax=A^{-1}\lambda{}x [/mm]
[mm] \gdw x=\lambda{}A^{-1}x
[/mm]
[mm] \gdw \frac{1}{\lambda}x=A^{-1}x
[/mm]
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Hi,
Vielen Dank für Deine Schnelle Antwort.
Ich habe leider auch nicht mehr als die Aufgabenstellung, die wir von unserem Dozenten erhalten haben.
Wie könnte man die Aufgabestellunge denn noch interpretieren?
Ich glaube Du hast es schon richtig erfasst?
Meinst Du den Beweis könnte ich in der Klausur so führen wie Du ihn angegeben hast?
Gruß
Tobias
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Naja, einen anderen Zusammenhang zwischen den EW und EV von einer Matrix und ihrer Inversen kenne ich nicht.
Also der "Beweis" war ja nur in Skizzenform. In der Klausur kommt es ja auch darauf an was ihr benutzen dürft.
Ausführlich sehe das dann so aus:
Beh.: Sei A eine invertierbare Matrix. Dann ist [mm] \lambda [/mm] ein EW von A zum EV x, genau dann wenn [mm] \frac{1}{\lambda} [/mm] ein EW von [mm] A^{-1} [/mm] zum EV x ist.
Beweis: A invertierbar [mm] \gdw detA\not=0 \gdw [/mm] (das müsstest du vielleicht noch genauer zeigen, kommt auch drauf an, ob ihr schon bewiesen habt, dass für eine invertierbare Matrix [mm] det\not={}0) [/mm] 0 ist kein EW von A
Sei [mm] \lambda [/mm] ein EW von A zum EV x
[mm] \gdw Ax=\lambda{}x [/mm]
[mm] \gdw A^{-1}Ax=A^{-1}\lambda{}x [/mm]
[mm] \gdw Ix=\lambda{}A^{-1}x [/mm]
[mm] \gdw \frac{1}{\lambda}x=A^{-1}x (da\lambda\not={}0)
[/mm]
[mm] \gdw \frac{1}{\lambda} [/mm] ist EW von A zum EV x
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 So 04.06.2006 | | Autor: | MyStiC1985 |
Ich denke das müsste ausreichen.
Den Beweis, dass für invertierbare Matrizen mit einer Determinante, die nicht Null ist, Null kein EW von den Matrizen ist, haben wir schon einmal geführt.
Und ich glaube nicht, dass er den an dieser Stelle von uns verlangt.
Vielen Lieben Dank für deine Schnelle Hilfe.
Ob er diese Antwort hören wollte kann ich Dir sagen, wenn ich die Klausur wiederbekommen habe.
..Ich kann ihn einfach abschreiben. Wir dürfen alles mit in die Klausur nehmen.
Gruß
Tobias
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