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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Incibus |
| Aufgabe | [mm] A:=\pmat{ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }
[/mm]
a) Untersuchen sie welche der Zahlen 0,1 bzw. 2 Eigenwerte der Matrix A sind.
b) Untersuchen sie, welche Vektoren [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{2 \\ 0 \\ 1+\wurzel{3} \\ \wurzel{3}} [/mm] Eigenvektoren der Matrix A sind. |
Nach meiner Rechnung sind 1 und 2 Eigenwerte der Matrix A.
Was mir jedoch ein wenig Kopfzerbrechen bereitet sind die Eigenvektoren.
für den wert 1 bekomme ich [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
für den Wert 2 bekomme ich [mm] \vektor{1 \\ \bruch{-9}{5}\\ \bruch{35}{81} \\ \bruch{5}{27}}
[/mm]
ist das so korrekt, oder habe ich mich irgendwo verrechnet??
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> [mm]A:=\pmat{ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }[/mm]
>
> a) Untersuchen sie welche der Zahlen 0,1 bzw. 2 Eigenwerte
> der Matrix A sind.
>
> b) Untersuchen sie, welche Vektoren [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{2 \\ 0 \\ 1+\wurzel{3} \\ \wurzel{3}}[/mm]
> Eigenvektoren der Matrix A sind.
> Nach meiner Rechnung sind 1 und 2 Eigenwerte der Matrix
> A.
Nein, 1 ist kein Eigenwert. (Eigenwerte sind [mm] $-1,2,2\pm\sqrt{3}$.)
[/mm]
> Was mir jedoch ein wenig Kopfzerbrechen bereitet sind die
> Eigenvektoren.
Bei dieser Aufgabenstellung kannst Du ja einfach [mm] $A\vec{x}$ [/mm] berechnen und prüfen, ob dieses Bild von [mm] $\vec{x}$ [/mm] bei $A$ ein skalares Vielfaches von [mm] $\vec{x}$ [/mm] ist (als Eigenvektor ist allerdings [mm] $\vec{0}$ [/mm] von vornherein ausgeschlossen: sonst hätte ja jede Matrix den Eigenwert $0$).
> für den wert 1 bekomme ich [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Na, der Nullvektor ist sicher kein Eigenvektor (ganz gleich zu welchem Eigenwert).
> für
> den Wert 2 bekomme ich [mm]\vektor{1 \\ \bruch{-9}{5}\\ \bruch{35}{81} \\ \bruch{5}{27}}[/mm]
Ich verstehe nicht, wie Du auf diesen Vektor kommst. Du sollst ja nur die vorgelegten Vektoren daraufhin prüfen, ob es sich um Eigenvektoren von $A$ handelt. Den obigen Vektor hast Du Dir aber irgendwie aus den Fingern gesogen (und: nein, es handelt sich nicht um einen Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $2$).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Incibus |
vielen dank schonmal für die Hilfe. versteh ich das nun richtig, dass wenn ich überprüfen will ob es sich bei den Vektoren um Eigenvektoren handelt ich nur schauen muss ob
[mm] A:=\pmat{ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 } [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}oder \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] oder [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] oder [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1+\wurzel{3} \\ \wurzel{3}}
[/mm]
erfüllt ist?
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Hallo
>...versteh ich das nun
> richtig, dass wenn ich überprüfen will ob es sich bei den
> Vektoren um Eigenvektoren handelt ich nur schauen muss ob
> [mm]A:=\pmat{ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}oder \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> oder [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] oder [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 1+\wurzel{3} \\ \wurzel{3}}[/mm]
>
> erfüllt ist?
ich versteh nicht ganz , was du hier vorhast. Vielleicht nochmal zur Verdeutlichung:
Berechne: [mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1} \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und zeige oder widerlege, dass das Ergebnis ein (skaleres) Vielfaches des Vektors [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
ist. Verfahre mit den anderen gegebenen Vektoren ebenso.
Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Incibus |
Ok, ich glaube ich habs verstanden, demnach ist dann nur [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] ein Eigenvektor zu der Matrix A
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> Ok, ich glaube ich habs verstanden, demnach ist dann nur
> [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] ein Eigenvektor zu der Matrix A
Dies ist ein Eigenvektor der Matrix $A$, jedoch ist [mm] $\vektor{2 \\ 0 \\ 1+\wurzel{3} \\ \wurzel{3}}$ [/mm] ebenfalls ein Eigenvektor von $A$ und zwar zum Eigenwert [mm] $2+\sqrt{3}$.
[/mm]
Wie hast Du denn getestet, ob in diesem Falle [mm] $A\vec{x}$ [/mm] ein skalares Vielfaches von [mm] $\vec{x}$ [/mm] ist oder nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Incibus |
Matrix A* dem jeweiligen Eigenvektor. bei [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] kam das ERgebnis [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}, [/mm] also genau *-1 raus,
wird doch so überprüft?
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> Matrix A* dem jeweiligen Eigenvektor. bei [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> kam das ERgebnis [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0},[/mm] also genau *-1
> raus,
> wird doch so überprüft?
Ok, in diesem Fall ist es einfacher als im Falle von [mm] $\vektor{2 \\ 0 \\ 1+\wurzel{3} \\ \wurzel{3}}$ [/mm] den skalaren Faktor einfach abzulesen und sogleich hinzuschreiben. Aber aus irgend einem Grund glaubst Du ja dieser vierte Vektor sei kein Eigenvektor: und was es zu klären gilt ist, aufgrund welcher Überlegung Du zu diesem (falschen) Schluss gekommen bist.
Das Bild dieses vierten Vektors unter $A$ ist
[mm]\pmat{ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 } \vektor{2 \\ 0 \\ 1+\wurzel{3} \\ \wurzel{3}} = \vektor{4+2\sqrt{3}\\0\\5+3\sqrt{3}\\3+2\sqrt{3}}[/mm]
Falls dieser Vektor ein Eigenvektor von $A$ ist, muss der betreffende Eigenwert gleich [mm] $\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$ [/mm] sein. Dies ergibt sich aus dem Vergleich der ersten Koordinaten von Bild- und Urbild-Vektor. Nun musst Du prüfen, ob auch die restlichen drei Koordinaten des Bildvektors aus den entsprechenden Koordinaten des Urbildvektors durch Multiplikation mit eben diesem Skalar, [mm] $2+\sqrt{3}$, [/mm] hervorgehen: falls ja, handelt es sich um einen Eigenvektor von $A$, falls nicht, handelt es sich nicht um einen Eigenvektor von $A$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Sa 21.07.2007 | | Autor: | Incibus |
Irgendwie hab ich mich da wohl dauernd verrechnet...
Dank Dir aufjedenfall für Deine Hilfe, jetzt ist es mir jedenfalls klar.
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