Eigenvektor 0 --> diagbar? < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Matrix
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Die Frage ist, ob sie diagonalisierbar ist. |
Hallo ihr lieben!
ich hab morgen mündliche Prüfung und hab nun noch eine klitzekleine Minifrage zum Verständnis.. Frage siehe oben.
Nun berechnet man erst mal die Eigenwerte und kommt zu dem Ergebnis dass die Matrix den dreifachen Eigenwert 0 besitzt.
Nun meine Frage: In dem Skript hier steht folgendes: "Da Null Eigenwert
ist --> nicht diagonalisierbar".. hääää? kann man das einfach so sagen!?
Also wenn ich nun Eigenvektor berechne ist es [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] bzw Vielfaches davon. Es ist also die geometrische Vielfachheit nur 1 und nicht 3, deshalb nicht diagonalisierbar. Das Ergebnis ist mir klar.
Meine Frage ist aber, ob ich das einfach daraus, dass der EW 0 ist, schon sagen kann?
Nicht das sich morgen in der mündlichen Prüfung vorrechnen muss, EW 0 rauskrieg und dann irgendwas falsches folgere - das wäre nicht so prall ;)
Lieben Dank! :)
(PS ich hab gefunden dass sie nicht invertierbar ist bei EW 0.. Warum ist mir grad nicht ganz klar, aber egal. weil damit kann ich ja auch nix zur Diagonalisierbarkeit sagen?!)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben ist die Matrix
> [mm]A:=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> Die Frage
> ist, ob sie diagonalisierbar ist.
> Hallo ihr lieben!
> ich hab morgen mündliche Prüfung und hab nun noch eine
> klitzekleine Minifrage zum Verständnis.. Frage siehe oben.
>
> Nun berechnet man erst mal die Eigenwerte und kommt zu dem
> Ergebnis dass die Matrix den dreifachen Eigenwert 0
> besitzt.
>
> Nun meine Frage: In dem Skript hier steht folgendes: "Da
> Null Eigenwert
>
> ist --> nicht diagonalisierbar".. hääää? kann man das
> einfach so sagen!?
Hallo,
es ist etwas arg verkürzt dargestellt.
Es geht wohl darum:
die Matrix A hat die 0 als dreifachen (einzigen) Eigenwert.
Wäre sie diagonalisierbar, so gäbe es eine Basis mit Vektoren [mm] b_1, b_2, b_3, [/mm] welche durch A allesamt auf den Nullvektor abgebildet werden.
Damit wird aber jeder Vektor auf den Nullvektor abgebildet, as zur Folge hat, daß es sich bei der Matrix um die Nullmatrix handeln müßte.
Offensichtlich ist A aber nicht die Nullmatrix.
> Also wenn ich nun Eigenvektor berechne ist es [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> bzw Vielfaches davon. Es ist also die geometrische
> Vielfachheit nur 1 und nicht 3, deshalb nicht
> diagonalisierbar. Das Ergebnis ist mir klar.
>
> Meine Frage ist aber, ob ich das einfach daraus, dass der
> EW 0 ist, schon sagen kann?
s.o.
> (PS ich hab gefunden dass sie nicht invertierbar ist bei EW
> 0.. Warum ist mir grad nicht ganz klar, aber egal.
Den Zustand wollen wir doch lieber ändern.
Wenn 0 EW ist, gibt es einen Vektor [mm] b\not=0 [/mm] mit Ab=0.
Angenommen, A wäre invertierbar.
Wir hätten dann [mm] b=A^{-1}*0=0.
[/mm]
Oder anders gesagt: die durch A gebebene lineare Abbildung mit [mm] f_A(x):=Ax [/mm] wäre wegen f(b)=0 und f(0)=0 nicht injektiv.
LG Angela
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super, vielen lieben dank schon mal! :)
> es ist etwas arg verkürzt dargestellt.
> Es geht wohl darum:
>
> die Matrix A hat die 0 als dreifachen (einzigen)
> Eigenwert.
> Wäre sie diagonalisierbar, so gäbe es eine Basis mit
> Vektoren [mm]b_1, b_2, b_3,[/mm] welche durch A allesamt auf den
> Nullvektor abgebildet werden.
> Damit wird aber jeder Vektor auf den Nullvektor
> abgebildet, as zur Folge hat, daß es sich bei der Matrix
> um die Nullmatrix handeln müßte.
> Offensichtlich ist A aber nicht die Nullmatrix.
okay, das kann ich soweit nachvollziehen, somit ist A nicht diagonalisierbar. Auf das gleiche Ergebnis komme ich ja auch mit der Berechnung des Eigenvektors.
Stimmt nun zusammenfassend die Aussage:
Wenn 0 EW, dann folgt dass A nicht diagonalisierbar? Also kann ich das immer anwenden? Oder stimmt das nur zufällig in diesem Fall, dass 0 Eigenvektor ist und die Matrix nicht diagonalisierbar ist?
Weil wenni ch morgen was vorrechne und 0 herausbekomme, dann sollte ich einfach die Eigenvektoren berechnen und mit der Vielfachheit argumentieren? Ich kann allein mit der 0 als EW noch nichts sagen, oder?
(ich hab einfach Angst, dass ich 0 als EW bekomme und dann etwas total unmathematisches damit anstelle :D )
Und danke für die Erklärung mit dem Invertierbar! :)
EDIT: AAAH ich hab hier was gefunden im internet. Kann ich das so bei jeder Aufgabe dieses Typs sagen?
0 ist der einzige Eigenwert vonA
Wäre A diagonalisierbar, so wäre [mm] P^{-1}AP=0 [/mm] mit P invertierbar. Somit wäre A die Nullmatrix, ein Widerspruch
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> Stimmt nun zusammenfassend die Aussage:
> Wenn 0 EW, dann folgt dass A nicht diagonalisierbar?
Hallo,
wenn die Matrix nicht die Nullmatrix ist und wenn gleichzeitig 0 ihr einziger Eigenwert ist, ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
Die Matrix [mm] \pmat{0&0&0\\0&1&0\\0&0&2} [/mm] hat zwar den EW 0, ist jedoch offensichtlich diagonalisierbar.
LG Angela
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perfekt, danke danke danke danke! :) jetzt ist mir alles klar!
du hast mir sehr weitergeholfen :)
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