Eigenvektor bestimmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Do 10.02.2005 | | Autor: | pisty |
Hallo,
ich habe ein kleines Problem mit dem berechnen von Eigenvektoren.
z.B habe ich folgende Matrix A:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 4 }
[/mm]
ich würde nun folgende Gleichung aufstellen:
x-y+2z=0
... wie gehe ich aber weiter vor? oder bin ich auf dem Holzweg?
muss / kann ich eine Variable Null setzen?
MfG
pisty
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 Do 10.02.2005 | | Autor: | Max |
Hier wird über ein ähnliches Problem diskutiert. Vielleicht hilft dir das ja auch.
Gruß Brackhaus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:04 So 13.02.2005 | | Autor: | DeusRa |
Hallo,
ich habe die Eigenwerte berechnet, falls du es nochmal überprüfen magst.
Also A=$ [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 4 } [/mm] $
Jetzt musst du wie von Brackhaus schon erwähnt über $ [mm] det(A-\lambda [/mm] E)=0 $ausrechen.
Also:
det A = $ [mm] \pmat{ 1-\lambda & -1 & 2 \\ -1 & 1-\lambda & -2 \\ 2 & -2 & 4-\lambda } [/mm] $
So, sieht dat erstmal aus.
Jetzt musst du die Determinante berechnen (mittels Sarrus...nehme du kennst das). Dann kommt [mm] $-\lambda[/mm] 3[mm] +6\lambda[/mm] 2$ raus. [mm] \gdw $\lambda[/mm] 2[mm] (-\lambda+6)$ \Rightarrow \lambda=0, \lambda=6 [/mm] und [mm] \lambda=0, [/mm] da laut [mm] \lambda[/mm] 2 zwei Mal 0 rauskommt).
So jetzt haste schon mal die Eigenwerte: [0;0;6].
Jetzt berechnen wir den Eigenvektor bzgl. der Eigenwerte:
Eigenvektorraum von Eigenwert [mm] \lambda [/mm] = [mm] E(\lambda) [/mm] =$ [mm] \pmat{ 1-\lambda & -1 & 2 \\ -1 & 1-\lambda & -2 \\ 2 & -2 & 4-\lambda }*\pmat{ 0 // 0 // 0 }$ [/mm]
Jetzt setzten wir einen Eigenwert hier z.B. 6 für [mm] \lambda [/mm] ein [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \pmat{ -5 & -1 & 2 & |0 \\ -1 & -5 & -2 & |0 \\ 2 & -2 & -2 & |0} [/mm] $
Durchzeilenumformungen auf Diagonalgestalt kommt folgendes raus: $ [mm] \pmat{ 1 & 0 & -0.5 & |0 \\ 0 & 1 & 0.5 & |0 \\ 0 & 0 & 0 & |0} [/mm] $
So, daraus erkennt man schon den Eigenvektor der zu dem Eigenwert 6 gehört: $ [mm] \vektor{0.5 \\ -0.5 \\ 1}$ \Rightarrow \vektor{1 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
Das selbe machst du noch für Eigenwert 0. Lsg davon: [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] oder [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
Bedenke nur, dass der Eigenvektor quasi doppelt vorkommt, da 2 Mal 0 als Eigenwert rausgekommen ist. Das ist wichtig falls du die Transf.matrix aufstellen willst. (Diese Matrix ist jedoch nicht invertierbar.) geom. Vielfachheit [mm] \not= [/mm] algebr. Vielfachheit.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ich habe eine Frage zu dieser Anwort:
Wiese kann ich, wenn ich die Matrix auf diese Form [mm] \pmat{ 1 & 0 & -0.5 & |0 \\ 0 & 1 & 0.5 & |0 \\ 0 & 0 & 0 & |0} [/mm] gebracht habe sagen, dass der Eigenvektor [mm] \vektor{0.5 \\ -0.5 \\ 1} [/mm] ist?
Die Werte 0.5 und -0.5 sind mir klar, nur warum ist der letzte Wert dieses Eigenvektors 1? In der letzten Zeile dieser Matrix sind doch lauter Nullen? Kann ich diese Zeile nicht einfach weglassen?
Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Di 16.01.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo mathe-tu-muenchen
Um einen Eigenvektor zu bestimmen erhält man immer ein homogenes Gleichungssystem, das unterbestimmt ist. Ist ja auch klar die Lösungen des Gleichungssystem bilden einen linearen Unterraum, den Eigenraum.
Um eine Lösung zu bestimmen, kann man daher für eine Variable einen Wert (ungleich 0!) wählen. Hier man also den Wert für die dritte Komponente gewählt, und zwar gleich 1. Die restlichen Komponenten sind dann berechnet.
mfG Moudi
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Eigenvektoren