Eigenvektor sym. Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Sa 11.04.2009 | | Autor: | Muemo |
| Aufgabe | geg:
[mm] A=\pmat{ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \\ 2 & -2 & 5 }
[/mm]
ges: Eigenwerte und linear unabhängige Eigenvektoren |
Hallo,
bei obiger Aufgabe habe ich einige Probleme. Zunächst einmal suche ich die Eigenwerte.
Also det [mm] (A-\lambdaE) [/mm] = [mm] (2-\lambda)(2-\lambda)(5-\lambda)+4+4-(4*2-\lambda)-(4*2-\lambda)-(5-\lambda)=0
[/mm]
Da bin ich nach der Regel von Sarrus vorgegangen, gibt es da vielleicht noch einen kürzeren Weg, wo ich es gleich ablesen kann?
Nach langen ausmultiplizieren komme ich auf die Eigenwerte:
[mm] \lambda_{1}=7; \lambda_{2/3}=1
[/mm]
Gibt es hier eventuell auch einen kürzeren Weg die Eigenwerte herauszukriegen? Die Lösungsformel für kubische Gleichungen ist etwas anstrengend.
Nun weiß ich bei den Eigenvektoren nicht so recht weiter:
zB. für [mm] \lambda_{2/3}
[/mm]
[mm] A=\pmat{1 & -1 & 2 \\-1 & 1 & -2\\2 & -2 & -4}
[/mm]
Wie gehe ich vor, hatte vorher immer nur recht einfache Matrizen mit vielen Nullen? Was bedeutet es wenn ich eine doppelte Nullstelle habe und wie krieg ich da 2 verschiedene Vektoren heraus? Ist es eine Hilfe, wenn es eine symmetrische Matrize ist?
Wäre für eine Antwort sehr dankbar.
Viele Grüße
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Hallo Muemo,
> geg:
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> [mm]A=\pmat{ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \\ 2 & -2 & 5 }[/mm]
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> ges: Eigenwerte und linear unabhängige Eigenvektoren
> Hallo,
>
> bei obiger Aufgabe habe ich einige Probleme. Zunächst
> einmal suche ich die Eigenwerte.
>
> Also det [mm](A-\lambdaE)[/mm] =
> [mm](2-\lambda)(2-\lambda)(5-\lambda)+4+4-(4*2-\lambda)-(4*2-\lambda)-(5-\lambda)=0[/mm]
>
> Da bin ich nach der Regel von Sarrus vorgegangen, gibt es
> da vielleicht noch einen kürzeren Weg, wo ich es gleich
> ablesen kann?
Ein kürzerer Weg ist mir nicht bekannt.
>
> Nach langen ausmultiplizieren komme ich auf die
> Eigenwerte:
>
> [mm]\lambda_{1}=7; \lambda_{2/3}=1[/mm]
>
> Gibt es hier eventuell auch einen kürzeren Weg die
> Eigenwerte herauszukriegen? Die Lösungsformel für kubische
> Gleichungen ist etwas anstrengend.
>
> Nun weiß ich bei den Eigenvektoren nicht so recht weiter:
>
> zB. für [mm]\lambda_{2/3}[/mm]
> [mm]A=\pmat{1 & -1 & 2 \\-1 & 1 & -2\\2 & -2 & -4}[/mm]
>
> Wie gehe ich vor, hatte vorher immer nur recht einfache
> Matrizen mit vielen Nullen? Was bedeutet es wenn ich eine
> doppelte Nullstelle habe und wie krieg ich da 2
> verschiedene Vektoren heraus? Ist es eine Hilfe, wenn es
> eine symmetrische Matrize ist?
Die Matrix lautet doch so:
[mm]\pmat{1 & -1 & 2 \\-1 & 1 & -2\\2 & -2 & \red{+}4}[/mm]
Nun, siehst Du hoffentlich, daß sich dies auf eine Gleichung reduziert:
[mm]x_{1}-x_{2}+2x_{3}=0[/mm]
Da wir eine Gleichung mit 3 Variablen haben, gibt es eine 2-parametrige Lösungsschar.
>
> Wäre für eine Antwort sehr dankbar.
>
> Viele Grüße
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Sa 11.04.2009 | | Autor: | Muemo |
Ok, danke erstmal.
Ich würde jetzt so vorgehen:
[mm] x_{1}-x_{2}+2s=0 [/mm] -> s=0
[mm] x_{1}-x_{2} [/mm] -> [mm] x_{1}=x_{2}=1 [/mm]
[mm] x_{\lambda_{2}}=\pmat{1\\1\\0} [/mm] ?
Lieg ich damit richtig?
Da es bei sich um eine doppelte Nullstelle handelt gibts es deswegen auch noch einen weiteren Vektor? Wie wäre der Ansatz für diesen?
Grüße
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Hallo Muemo,
> Ok, danke erstmal.
>
> Ich würde jetzt so vorgehen:
>
> [mm]x_{1}-x_{2}+2s=0[/mm] -> s=0
>
> [mm]x_{1}-x_{2}[/mm] -> [mm]x_{1}=x_{2}=1[/mm]
>
> [mm]x_{\lambda_{2}}=\pmat{1\\1\\0}[/mm] ?
>
> Lieg ich damit richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Da es bei sich um eine doppelte Nullstelle handelt gibts es
> deswegen auch noch einen weiteren Vektor? Wie wäre der
> Ansatz für diesen?
Nun, da die Gleichung 3 Variablen hat, kannst Du zwei Variablen frei wählen.
Wähle z.B.
[mm]x_{2}=r[/mm]
[mm]x_{3}=s[/mm]
Dann hast Du
[mm]x_{1}=r-2s[/mm]
insgesamt:
[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=r*\pmat{1 \\ 1 \\ 0}+s*\pmat{-2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Damit hast Du zwei Vektoren gefunden:
[mm]\pmat{1 \\ 1 \\ 0}, \ \pmat{-2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Grüße
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Sa 11.04.2009 | | Autor: | Muemo |
Wunderbar! Vielen Dank! Hat wieder mal "Klick" gemacht!
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