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| Aufgabe | Sei V ein endlichdimensionaler [mm] \IR-Vektorraum [/mm] und [mm] \alpha, \beta [/mm] symmetrische Bilinearformen auf V.
Sei [mm] \beta [/mm] positiv definit.
Zeige, dass ein [mm] \lambda [/mm] aus [mm] \IR [/mm] und ein x aus V\ {0} existieren mit [mm] \alpha(x,y)= \lambda \beta(x,y) [/mm] für alle y aus V |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo miteinander!
Ich habe diese Aufgabe vor mir liegen und habe absolut keinen Ansatz :/
Es geht um Eigenvektoren einer symmetrischen Bilinearform bezüglich einer anderen symm. Bilinearform...
Als Hinweis wurde mir lediglich gesagt, die Ableitung (nach t) der Funktion [mm] \alpha(x+ty,x+ty)/\beta(x+ty,x+ty) [/mm] mit x,y aus [mm] \IR^n [/mm] und t aus [mm] \IR [/mm] an der Stelle t=0 zu berechnen.
Da habe ich schon mein erstes Problem, da ich dies nicht berechnen kann...
Desweiteren weis ich dass die Funktion ( mit dem Quotient der beiden symm. Bilinearformen) überall existiert (und sogar stetig ist?!), da [mm] \beta [/mm] positiv definit ist.
Ich wäre euch über Denkanstöße, aber keine kompletten Lösungen dankbar!
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Sa 08.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei V ein endlichdimensionaler [mm]\IR-Vektorraum[/mm] und [mm]\alpha, \beta[/mm]
> symmetrische Bilinearformen auf V.
> Sei [mm]\beta[/mm] positiv definit.
> Zeige, dass ein [mm]\lambda[/mm] aus [mm]\IR[/mm] und ein x aus V\ {0}
> existieren mit [mm]\alpha(x,y)= \lambda \beta(x,y)[/mm] für alle y
> aus V
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo miteinander!
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> Ich habe diese Aufgabe vor mir liegen und habe absolut
> keinen Ansatz :/
>
> Es geht um Eigenvektoren einer symmetrischen Bilinearform
> bezüglich einer anderen symm. Bilinearform...
>
> Als Hinweis wurde mir lediglich gesagt, die Ableitung (nach
> t) der Funktion [mm]\alpha(x+ty,x+ty)/\beta(x+ty,x+ty)[/mm] mit x,y
> aus [mm]\IR^n[/mm] und t aus [mm]\IR[/mm] an der Stelle t=0 zu berechnen.
> Da habe ich schon mein erstes Problem, da ich dies nicht
> berechnen kann...
Das ist aber nicht so schwer, da brauchst du nur die Quotientenregel und die Bilinearitaet/Symmetrie von [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$.
[/mm]
Es ist ja z.B. [mm] $\alpha(x+ty, [/mm] x+ty) = [mm] \alpha(x, [/mm] x+ty) + t [mm] \cdot \alpha(y, [/mm] x+ty) = [mm] \alpha(x,x) [/mm] + 2 t [mm] \cdot \alpha(x,y) [/mm] + [mm] t^2 \cdot \alpha(y, [/mm] y)$.
> Desweiteren weis ich dass die Funktion ( mit dem Quotient
> der beiden symm. Bilinearformen) überall existiert (und
> sogar stetig ist?!), da [mm]\beta[/mm] positiv definit ist.
Naja, was ist wenn $x + t y = 0$ ist?
LG Felix
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Erstmal Danke für deine Anwort;)
Ich habe das Problem mit der Ableitung dann doch anders gelöst und hab sie auch raus (sie ist 0).
Aber das bringt mich jetzt auch nicht viel weiter...
P.S.: Einwand genehmigt ;);)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 So 09.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal Danke für deine Anwort;)
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> Ich habe das Problem mit der Ableitung dann doch anders
> gelöst und hab sie auch raus (sie ist 0).
>
> Aber das bringt mich jetzt auch nicht viel weiter...
Doch. Du kennst doch sicher den
SATZ: Sei I [mm] \subseteq \IR [/mm] ein Intervall und f: [mm] \to \IR [/mm] differenzierbar. Ist f'(t)=0 für jedes t [mm] \in [/mm] I, so ist f auf I konstant.
FRED
>
> P.S.: Einwand genehmigt ;);)
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Sorry fred, aber ich steh leider grade auf dem Schlauch und kann nicht wirklich etwas mit deiner Antwort anfangen :-(
Also ich weiss ja jetzt, dass die Ableitung an der Stelle t=0 0 ist.
Die Stelle ist also ein Kandidat für eine Extremstelle (Eigenwerte können ja auch als Supremum von Skalarprodukten <x,f(x)> mit [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel=1 [/mm] betrachtet werden)...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Fr 14.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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