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| Aufgabe | | Sei [mm] \pmat{ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }. [/mm] Bestimme eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren. |
Also hey hab das soweit probiert, meine erkenntnisse waren wie folgt:
1. Rang A = 2
2. Eigenwerte: 0 und 3(mit algebraischer vielfachheit von 2)
so nun hab ich ein Problem mit den Eigenvektoren bestimmen, ich habe den ansatz genommen [mm] det(A-\lambda [/mm] E) x = 0
Für den eigenwert 0 erhielt ich den Eigenvektor [mm] (-1,1,-1)^T
[/mm]
Aber für den Eigenwert 3 bekomm ich irgendwie nix raus, laut einem Onlinetool soll es für den Eigenwert 3 --> 2 Eigenvektoren geben, aber das ist mir nicht so wirklich klar. Gibt es wirklich insgesamt 3 Eigenvektoren( 2 EV für den Eigenwert 3?) oder gibt es nur einen, wie komm ich da weiter? Gibt es da einen satz oder noch besser wie komm ich rechnerisch darauf?
ich hab halt für drei: det(A- 3 E) x = 0
und komme auf die gleichung: [mm] -x_1-x_2+x_3 [/mm] = 0
Hab also eine 2 parametrische Lösung, aber wie bidle ich daraus meinen Eigenvektor bzw. meine Eigenvektoren?
Wäre für jede Hilfe dankbar
LG
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> Sei [mm]\pmat{ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }.[/mm]
> Bestimme eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren.
> Also hey hab das soweit probiert, meine erkenntnisse waren
> wie folgt:
> 1. Rang A = 2
Stimmt
> 2. Eigenwerte: 0 und 3(mit algebraischer vielfachheit von
> 2)
Stimmt.
> so nun hab ich ein Problem mit den Eigenvektoren
> bestimmen, ich habe den ansatz genommen [mm]det(A-\lambda[/mm] E) x
> = 0
Das ist falsch. Du musst das GLS [mm] (A-\lambda{}E)x=0 [/mm] lösen und dabei für [mm] \lambda [/mm] erst 0 und dann 3 einsetzen.
> Für den eigenwert 0 erhielt ich den Eigenvektor
> [mm](-1,1,-1)^T[/mm]
Das ist falsch, liegt aber wohl am falschen Ansatz.
> Aber für den Eigenwert 3 bekomm ich irgendwie nix raus,
> laut einem Onlinetool soll es für den Eigenwert 3 --> 2
> Eigenvektoren geben, aber das ist mir nicht so wirklich
> klar. Gibt es wirklich insgesamt 3 Eigenvektoren( 2 EV für
> den Eigenwert 3?)
Also erstmal: es gibt für jeden EW immer unendlich viele Eigenvektoren.
Du suchst nach linear unabhängiggen Eigenvektoren. Für 0 gibt es einen linear unabhängigen EV und für 3 zwei. Bekommst du durch lösen des obigen GLS.
MFG Verena
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naja das hab ic hdoch gemacht, einmal hab ich den eigenwertt 0 einegsetzt und kam auf sowas wie
[mm] x_1 [/mm] =- [mm] x_2 [/mm] , [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] = - [mm] x_2 [/mm] und ein beispiel war mein vektor (-1,1,-1)(geschrieben als Zeilenvektor) und für den Eigenwert 3 erhalte ich halt nicht 2 eigenvektoren, kannst mir vielleicht erkllären was ich falsch mache,
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Für den Eigenwert 0 bekommst du das GLS:
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 1 & | 0\\ -1 & 2 & 1 & | 0 \\ 1 & 1 & 2 & | 0 }
[/mm]
In ZSF:
[mm] \pmat{ -1 & 2 & 1 & | 0\\ 0 & 1 & 1 & | 0 \\ 0 & 0 & 0 & | 0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow \IL=\{s\cdot \vektor{-1 \\ -1 \\ 1}, s\in\IR\}
[/mm]
Für den Eigenwert 3 erhälst du das GLS:
[mm] \pmat{ -1 & -1 & 1 & | 0\\ -1 & -1 & 1 & | 0 \\ 1 & 1 & -1 & | 0 }
[/mm]
In ZSF:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 & | 0\\ 0 & 0 & 0 & | 0 \\ 0 & 0 & 0 & | 0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow \IL=\{s\cdot \vektor{1 \\ 0 \\ 1}+t\cdot \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}, s,t\in\IR\}
[/mm]
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Ok stimmt, bei [mm] \lambda [/mm] = 0 war ein rechenfehler :-/
naja genau auf diese lösung sollte man bei dem eigenwert 3 kommen, so wenn ich jetzt die Orthonormalbasis finden will, nehm ich vektor 1(vom eigenwert 0) und normiere ihn, dan nehm ich eigenvektor 2(mit eigenwert 3) und normiere ihn nur, da er ja aujtomatisch auf dem ersten eigenvektor mit dem eigenwert 0 seknrecht steht, den dritten ONB-Vektor bestimm ich nach Gram-Schmidt, - ist denn aber der entstehende neue ONB-Vektor auch ein Eigenvektor, weil - lässt er sich denn aus dem Eigenraum für [mm] \lambda [/mm] 3 bilden?
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Wenn du Gram-Schmidt auf beide Vektoren des [mm] E_3 [/mm] anwendest bekommst du auch wieder Eigenvektoren aus diesem Eigenraum. Du bildest schließlich nur linear Kombinationen dieser Vektoren. Wendest du Gram-Schmidt auf Eigenvektoren von verschiedenen EW , sieht das natürlich anders aus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 So 11.06.2006 | | Autor: | Poffelchen |
naja, für andere Eigenwerte würde ja die Gram S. nix ändern weil ja für verschiedene EWs die EVs paarweise orthogonal aufeinander stehen
naja auf jeden fall vielen dank
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