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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Bestimmen sie Eigenwerte und -vektoren von
[mm] C=\pmat{ 0 & -1 & 1 \\ -3 & -2 & 3 \\ -2 & -2 & 3}
[/mm]
Untersuchen sie auf Diagonalisierbarkeit.
Geben sie das Minimalpolynom an.
Wenn die Matrix nicht diagonalisierbar ist geben sie die Jordannnormalform an. |
Eigenwerte:
[mm] |\lambda E-C|=\vmat{\lambda & 1 & 11 \\ 3 & \lambda +2 & -3 \\ 2 & 2 & \lambda -3}=\lambda^3-\lambda^2-\lambda [/mm] +1
[mm] \Rightarrow \lambda_1=1
[/mm]
Polynomdivison:
[mm] (\lambda^3-\lambda^2-\lambda +1):(\lambda_1-1)=\lambda^2-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow: \lambda_2=1, \lambda_3=-1
[/mm]
Da die algebraische und die geometrische Vielfachheit der EW nicht gleich ist C nicht diagonalisierbar.
Minimalpolynom:
[mm] (\lambda -1)(\lambda [/mm] -1)
Eigenvektoren:
[mm] \lambda_2=1:
[/mm]
[mm] ker(C-E)=ker\pmat{ -1 & -1 & 1 \\ -3 & -3 & 3 \\ -2 & -2 & 2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow e_1=\pmat{0\\1\\1}, e_2=\pmat{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Soweit so gut (alles korrekt)
Nur jetzt geht das Problem los:
[mm] \lambda_{1,3}=-1:
[/mm]
[mm] ker(C+E)=ker\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ -3 & -1 & 3 \\ -2 & -2 & 4}
[/mm]
Meinen Rechnungen nach erhalte ich hier rg=3 und damit nur den Nullvektor als Kern ... aber wie soll ich dann eine Jordannormalform aufstellen?
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf andern Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen sie Eigenwerte und -vektoren von
> [mm]C=\pmat{ 0 & -1 & 1 \\ -3 & -2 & 3 \\ -2 & -2 & 3}[/mm]
> Nur jetzt geht das Problem los:
> [mm]\lambda_{1,3}=-1:[/mm]
> [mm]ker(C+E)=ker\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ -3 & -1 & 3 \\ -2 & -2 & 4}[/mm]
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> Meinen Rechnungen nach erhalte ich hier rg=3 und damit nur
> den Nullvektor als Kern ...
Hallo,
Du hast Dich schlicht und ergreifend verrechnet.
Gruß v. Angela
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