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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Do 18.02.2010 | | Autor: | Deko |
| Aufgabe | Gegeben ist eine 3x3 Matrix
-2 0 -2
3 0 3
0 0 0
Es sollen Eigenwerte und eigenvektoren bestimmt werden. |
Eigenwerte zu bestimme ist nicht das Problem, hier sind meine Ergebnisse
[mm] \lambda [/mm] 1/2 = 0
[mm] \lambda [/mm] 3 = -2
Mein weg dahin ist folgender:
Det(A - 1E)
aus der dauraus folgenden Matrix ergibt sich die Determinante : [mm] \lambda^{2} (-2-\lambda)
[/mm]
Daraus ergeben sich die Eigenwerte
[mm] \lambda [/mm] 1/2 = 0
[mm] \lambda [/mm] 3 = -2
Viel weiter komm ich dann allerdings schon nicht, ich habe versucht die Matrix dann mit den entsprechend eingesetzten Werten in eine trapezforum zu bringen aber dabei bin ich auf keinen grünen Zweig gekommen.
Wäre super wenn mir dabei einer helfen könnte.
ps. ich bitte meine deletantische schreibweise zu entschuldigen. Es handelt sich um meinen ersten Post hier im forum und ich bin mit den feinheiten noch ncith so vertraut.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben ist eine 3x3 Matrix
> -2 0 -2
> 3 0 3
> 0 0 0
>
> Es sollen Eigenwerte und eigenvektoren bestimmt werden.
> Eigenwerte zu bestimme ist nicht das Problem, hier sind
> meine Ergebnisse
>
> [mm]\lambda[/mm] 1/2 = 0
> [mm]\lambda[/mm] 3 = -2
>
> Mein weg dahin ist folgender:
>
> Det(A - 1E)
Mhm.Mhm.
Das charakteristische Polynom berechnet sich so:
[mm] det(\lambda1_n [/mm] - A)
[Edit:] Ok. Ist doch egal wie stand auf dem Schlauch. Deine Eigenwerte sind richtig.
Mein charakterischte Polynom zum Vergleich ist hier:
[mm] p(x)=\lambda^3+2*\lambda^2
[/mm]
> aus der dauraus folgenden Matrix ergibt sich die
> Determinante : [mm]\lambda^{2} (-2-\lambda)[/mm]
[mm] p(x)=\lambda^2*(\lambda+2)
[/mm]
> Daraus ergeben
> sich die Eigenwerte
>
> [mm]\lambda[/mm] 1/2 = 0
> [mm]\lambda[/mm] 3 = -2
Hab ich auch [mm] p(x)=0\gdwx\in [/mm] {0,0,-2}
>
> Viel weiter komm ich dann allerdings schon nicht, ich habe
> versucht die Matrix dann mit den entsprechend eingesetzten
> Werten in eine trapezforum zu bringen aber dabei bin ich
> auf keinen grünen Zweig gekommen.
>
> Wäre super wenn mir dabei einer helfen könnte.
Eigenräume berechnen sich so:
[mm] E_{\lambda_i}(f): $A*\vektor{a \\ b\\c}=\lambda_i*\vektor{a \\ b\\c}$
[/mm]
>
> ps. ich bitte meine deletantische schreibweise zu
> entschuldigen. Es handelt sich um meinen ersten Post hier
> im forum und ich bin mit den feinheiten noch ncith so
> vertraut.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ich mach es mal mit dem Eigenwert 0:
[mm] E_0(f): $A*\vektor{a \\ b\\c}=0*\vektor{a \\ b\\c}$
[/mm]
Also homogenes LGS:
[mm] \pmat{ -2 & 0 & -2 \\ 3 & 0&3 \\ 0&0&0 }* \vektor{a \\ b\\c}=\overrightarrow{0}
[/mm]
umformen zu
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0&0 \\ 0&0&0 }
[/mm]
Jetzt ist a abhängig von c und b beliebig:
also c = s und b = t somit a = s
Damit wird der Lösungsraum von [mm] s\vektor{1 \\ 0\\1} [/mm] + t [mm] \vektor{0 \\ 1\\0} [/mm] aufgespannt.
Zur Kontrolle ist Eigenraum von [mm] E_2(f): \IR\vektor{\bruch{-2}{3} \\ -1\\0}[/mm]
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