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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenvektoren
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Eigenvektoren: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:42 So 23.01.2011
Autor: diddy449

Aufgabe
Sei [mm] \lambda [/mm] kein Eigenwert von A.
So ist x genau dann ein Eigenvektor von A, wenn x ein Eigenvektor von [mm] (A-\lambda E_{n})^{-1} [/mm] ist.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hey,
Ich krieg leider nur Ansätze hin. Ein Schubs in die richtige Richtung wäre klasse.

Hier meine Ansätze.

Sei x eine Eigenvektor von A zum Eigenwert [mm] \mu, [/mm] dann gilt Ax = [mm] \mu [/mm] x

zz. Ax = [mm] \mu [/mm] x    
[mm] \gdw (A-\lambda E_{n})^{-1}x= \nu [/mm] x
wobei [mm] \nu [/mm] ein Eigenwert von [mm] (A-\lambda E_{n})^{-1} [/mm] mit dem Eigenvektor x ist.

[mm] Ax=\mu [/mm] x
[mm] \gdw x=A^{-1}*\mu [/mm] x
[mm] \gdw (A-\lambda E_{n})^{-1}x=(A-\lambda E_{n})^{-1}*A^{-1}*\mu [/mm] x
[mm] \gdw (A-\lambda E_{n})^{-1}x=((A-\lambda E_{n})*A)^{-1}*\mu [/mm] x
[mm] \gdw (A-\lambda E_{n})^{-1}x [/mm] = [mm] ((AA-\lambda A))^{-1}*\mu [/mm] x

Weiter komm ich leider nicht,
wenn meine Schritte richtig waren ,müsste ich irgendwie darauf schließen können, dass [mm] ((AA-\lambda A))^{-1} [/mm] eine Diagonalmatrix von der Form: [mm] a*E_{n} [/mm] ist.(was irgendwie aber auch keinen Sinn ergibt, weil [mm] \lambda [/mm] und A irgendwie gewählt sind)

Naja falls das aber stimmen würde, dann würde gelten:
[mm] \gdw (A-\lambda E_{n})^{-1}x [/mm] = [mm] a*E_{n}*\mu [/mm] x
[mm] \gdw (A-\lambda E_{n})^{-1}x [/mm] = [mm] a*\mu [/mm] x

Dann wähle ich dann als [mm] \nu [/mm] = [mm] a*\mu [/mm] und ich bin fertig.

Hoffentlich kann mir einer weiterhelfen.
Danke

        
Bezug
Eigenvektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:56 So 23.01.2011
Autor: diddy449

hat sich erledigt.

Kann mir jemand sagen, wie ich den Status meiner Frage veändere?

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