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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Di 25.10.2011 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Berechnen Sie drei linear unabhängige Eigenvektore [mm] c_{1}, c_{2}, c_{3} [/mm] von A
A = [mm] \pmat{ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] |
Also ich habe über das charakteristische Polynom drei Eigenwerte ausgerechnet (1; -2; 3). Dann habe ich das Gaußsche Eliminationsverfahren angewandt um auf die Eigenvektoren zu kommen, aber ich stelle mich anscheinend doof an.
Für [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1 kommt raus [mm] \vec{c_{1}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0},
[/mm]
[mm] \pmat{ -2 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
für [mm] \lambda_{2} [/mm] = -2 kommt raus [mm] \vec{c_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0},
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 5 }
[/mm]
und für [mm] \lambda_{2} [/mm] = 3 komme ich auf kein Ergebnis
[mm] \pmat{ -4 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }.
[/mm]
Die drei Matritzen sind jeweils [mm] (A-\lambda [/mm] E).
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Hallo!
Deine Eigenwerte sind allesamt richtig, jedoch ist der Nullvektor niemals ein Eigenvektor(wird in der Definition des Eigenvektors gefordert).
Poste doch mal deine Rechnung,damit wir den Fehler findne können.
Also für [mm] \lambda=1 [/mm] muss man ja folgendes lösen:
$ [mm] \pmat{ -4 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] $ [mm] *\vektor{x \\ y \\ z}=0
[/mm]
Also, versuch es nochmal und poste deine Rechnung.
Gruß
theBozz-mismo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Di 25.10.2011 | | Autor: | al3pou |
Okay, ich habe das so gemacht (du meinst damit bestimmt für [mm] \lambda [/mm] = 3  )
Also ich mache das mal für [mm] \lambda [/mm] = 1
-2 2 1 | 0
1 -1 2 | 0
0 0 2 | 0
-> z = 0
z in die zweite Gleichung ergibt x = y und das in die erste Gleichung ergibt x = 0.
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moin al3pou,
es ist nicht [mm] $(A-\lambda*E)$, [/mm] es muss [mm] $(\lambda*E [/mm] - A)$ sein (da das char. Polynom normiert sein muss).
Versuch es nochmal so rum. ;)
lg
Schadow
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Hallo Schadow!
> moin al3pou,
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> es ist nicht [mm](A-\lambda*E)[/mm], es muss [mm](\lambda*E - A)[/mm] sein
> (da das char. Polynom normiert sein muss).
> Versuch es nochmal so rum. ;)
>
>
> lg
>
> Schadow
Ist das wirklich so? Mir ist der Unterschied schon klar, jedoch habe ich immer gedacht, dass es für die Berechnung der Eigenvektoren und Eigenwerte keine Rolle spielt, ob das charakteristische Polxnom normiert ist oder nicht.
Für [mm] \lambda=1 [/mm] würde ich es so berechnen:
[mm] (A-I)=\pmat{ -2 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
Die 3. Koordinate muss Null sein. Also bleibt noch:
1. -2x+2y=0
2. x-y=0
Aus 1. folgt x=y und aus 2. folgt auch x=y, also ist zum Beispiel [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] ein Eigenvektor.
Gruß
TheBozz-mismo
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$Ax = [mm] \lambda*x \gdw [/mm] Ax - [mm] \lambda*x [/mm] = 0 [mm] \gdw (A-\lambda*E)*x [/mm] = 0 => [mm] Det(A-\lambda*E) [/mm] = 0$
Hmm, könnte also sogar sein, dass es auch so rum passt, ja.^^
Ich würde dir aber raten es dir gleich normiert anzugewöhnen, denn man kann es später noch für viele andere lustige Sachen außer Eigenwerte benutzen, und da ist es unter Umständen doch wichtig, dass es normiert ist.
Ich lass die Frage mal halb offen, damit noch motivierte und wache Leute nach Rechenfehlern suchen können. ;)
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Danke für deine Antwort.
Also "normiert"(bei Polynomen) ist mir bis jetzt nur beim Minimalpolynom begegnet, aber es gibt bestimmt noch viele andere Anwendungen dafür.
gruß
TheBozz-mismo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:14 Mi 26.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> moin al3pou,
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> es ist nicht [mm](A-\lambda*E)[/mm], es muss [mm](\lambda*E - A)[/mm] sein
> (da das char. Polynom normiert sein muss).
Streiche jedes "muss". Ob [mm](A-\lambda*E)[/mm] oder [mm](\lambda*E - A)[/mm] ist Jacke wie Hose
FRED
> Versuch es nochmal so rum. ;)
>
>
> lg
>
> Schadow
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