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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenvektoren berechnen
Eigenvektoren berechnen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenvektoren berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 Do 28.04.2011
Autor: zoj

Aufgabe
Gesucht sind die Eigenvektoren zu der Matrix:
A = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm]

Laut lösung soll für [mm] \lambda [/mm] = -1 der Eigenvektor [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{1\\-1} [/mm] rauskommen
Ich bekomme aber den Vektor: [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{-1\\1} [/mm] raus.

Habe ich was falsch gemacht?
Könnt Ihr mal schauen, ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe?

Die berechneten Eigenwerte lauten:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 1
[mm] \lambda_{2} [/mm] = -1

Nun berechne ich die Eigenvektoren.
Dazu nehme ich folgende Formel:
(A - [mm] E_{i})*x_{i} [/mm] = 0

Für [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1:

[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] - [mm] \pmat{1&0\\0&1} [/mm] = [mm] \pmat{-1&1\\1&-1} [/mm]
Nun löse ich das LGS:
[mm] \pmat{-1&1\\1&-1} [/mm] //erste Zeile zu der zweiten addieren
[mm] \pmat{-1&1\\0&0} [/mm]

Nun wird es interessant, denn ich bekomme eine Nullzeile und kann eine Variable frei wählen. Welche nimmt man denn immer?
Habe mich für [mm] x_{2} [/mm] entschieden.

[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \alpha [/mm]
In die erste Zeile eingesetzt:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \alpha [/mm]

Demnach ist der Eigenvektor [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\1} [/mm]

Für [mm] \lambda_{2} [/mm] = -1:

[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] + [mm] \pmat{1&0\\0&1} [/mm] = [mm] \pmat{1&1\\1&1} [/mm]
Nun löse ich das LGS:
[mm] \pmat{1&1\\1&1} [/mm] //erste Zeile negieren und zu der zweiten Zeile addieren
[mm] \pmat{1&1\\0&0} [/mm]


[mm] x_{2}=\alpha [/mm]
In die erste Zeile eingesetzt:
[mm] x_{1}= -\alpha [/mm]
Daraus folgt: [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{-1\\1} [/mm]

Komme nicht ganz auf die richtige Lösung.


        
Bezug
Eigenvektoren berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:44 Do 28.04.2011
Autor: MathePower

Hallo zoj,


> Gesucht sind die Eigenvektoren zu der Matrix:
>  A = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
>  Laut lösung soll für
> [mm]\lambda[/mm] = -1 der Eigenvektor [mm]x_{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{1\\-1}[/mm] rauskommen
>  Ich bekomme aber den Vektor: [mm]x_{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{-1\\1}[/mm] raus.
>  
> Habe ich was falsch gemacht?


Nein, Du hast nichts falsch gemacht.


>  Könnt Ihr mal schauen, ob ich die Aufgabe richtig gelöst
> habe?
>  
> Die berechneten Eigenwerte lauten:
>  [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1
>  [mm]\lambda_{2}[/mm] = -1
>  
> Nun berechne ich die Eigenvektoren.
>  Dazu nehme ich folgende Formel:
>  (A - [mm]E_{i})*x_{i}[/mm] = 0
>  
> Für [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1:
>  
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] - [mm]\pmat{1&0\\0&1}[/mm] =
> [mm]\pmat{-1&1\\1&-1}[/mm]
>  Nun löse ich das LGS:
>  [mm]\pmat{-1&1\\1&-1}[/mm] //erste Zeile zu der zweiten addieren
>  [mm]\pmat{-1&1\\0&0}[/mm]
>  
> Nun wird es interessant, denn ich bekomme eine Nullzeile
> und kann eine Variable frei wählen. Welche nimmt man denn
> immer?
>  Habe mich für [mm]x_{2}[/mm] entschieden.
>  
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\alpha[/mm]
>  In die erste Zeile eingesetzt:
>  [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\alpha[/mm]
>  
> Demnach ist der Eigenvektor [mm]x_{1}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\1}[/mm]


[ok]


>
> Für [mm]\lambda_{2}[/mm] = -1:
>  
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] + [mm]\pmat{1&0\\0&1}[/mm] =
> [mm]\pmat{1&1\\1&1}[/mm]
>  Nun löse ich das LGS:
>  [mm]\pmat{1&1\\1&1}[/mm] //erste Zeile negieren und zu der zweiten
> Zeile addieren
>  [mm]\pmat{1&1\\0&0}[/mm]
>  
>
> [mm]x_{2}=\alpha[/mm]
>  In die erste Zeile eingesetzt:
>  [mm]x_{1}= -\alpha[/mm]
>  Daraus folgt: [mm]x_{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{-1\\1}[/mm]
>  
> Komme nicht ganz auf die richtige Lösung.

>


Du musst nicht  unbedingt auf den in der Musterlösung
angegebenen Eigenvektor zu [mm]\lambda=-1[/mm] kommen.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Eigenvektoren berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:48 Do 28.04.2011
Autor: zoj

>Du musst nicht  unbedingt auf den in der Musterlösung
>angegebenen Eigenvektor zu $ [mm] \lambda=-1 [/mm] $ kommen.

Warum nicht? Reicht es wenn man nur einen berechnet hat?


Bezug
                        
Bezug
Eigenvektoren berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:52 Do 28.04.2011
Autor: MathePower

Hallo zoj,

> >Du musst nicht  unbedingt auf den in der Musterlösung
>  >angegebenen Eigenvektor zu [mm]\lambda=-1[/mm] kommen.
>
> Warum nicht? Reicht es wenn man nur einen berechnet hat?
>  


Wenn Du einen Eigenvektor zu einem Eigenwert berechnet hast reicht das.

Hier wurden noch zusätzlich die Eigenvektoren normiert.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Eigenvektoren berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:01 Do 28.04.2011
Autor: zoj

OK, danke für die Hilfe!

Bezug
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