Eigenvektoren bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 &3 }
[/mm]
Bestimmen von Eigenwerten / Vektoren / Räumen |
Hallo leute,
ich bin echt am verzeifeln. Schreibe montag meine Klausur und diese blöden Eigenvektoren machen mir das Leben schwer !
An die Eigenwerte komme ich nun mittlerweile ohne Probleme:
Diese sind hier
[mm] x_{1} [/mm] = 3
[mm] x_{2} [/mm] = 1 + [mm] \wurzel{6}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = 1 - [mm] \wurzel{6}
[/mm]
So..
Jetzt will ich die Eigenvektoren bestimmen.
Dafür habe ich mir hier eine Formel aufgeschrieben:
A - [mm] \lambda [/mm] * E
Wobei
A: = meine Matrix
[mm] \lambda [/mm] := mein Eigenwert
E : = Einheitsmatrix
So..
Nun puzzle ich mir das Ding zusammen
und nehme als [mm] \lambda [/mm] mein [mm] 1+\wurzel{6}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 &3 } [/mm] - [mm] (1+\wurzel{6}) [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 &3 } [/mm] - [mm] \pmat{ 1+\wurzel{6}) & 0 & 0 \\ 0 & 1+\wurzel{6}) & 0 \\ 0 & 0 & 1+\wurzel{6}) }
[/mm]
= [mm] \pmat{ -\wurzel{6} & 2 & 1 \\ 2 & -\wurzel{6} & -1 \\ 1 & -1 &2-\wurzel{6} }
[/mm]
Nun wollte ich dies Lösen in dem ich x , y, z bestimme durch Umformungen . . .
Zunächst vertausche ich die dritte Zeile mit der erste:
= [mm] \pmat{1 & -1 &2-\wurzel{6} \\ 2 & -\wurzel{6} & -1 \\ -\wurzel{6} & 2 & 1 }
[/mm]
Nun wende ich die erste Zeile mit *-2 auf die Zeite an. Ferner die erste Zeile mit [mm] \wurzel{6} [/mm] auf die dritte und erhalte:
= [mm] \pmat{1 & -1 &2-\wurzel{6} \\ 0 & 2-\wurzel{6} & -4+2\wurzel{6} \\ 0 & 2-\wurzel{6} & -6+2\wurzel{6}}
[/mm]
Nun wende ich die Zeite Zeile mit *-1 auf die dritte und erhalte:
= [mm] \pmat{1 & -1 &2-\wurzel{6} \\ 0 & 2-\wurzel{6} & -4+2\wurzel{6} \\ 0 & 0 & -10+4\wurzel{6}}
[/mm]
und nun bin ich am Ende mit meinem Latein . . .
Das einzige was ich noch machen könnte mit der dritten Zeile ist:
- 10 + [mm] 4\wurzel{6} [/mm] | : 2
- 5 + [mm] 2\wurzel{6}
[/mm]
nun ist ja meine dritte Spalte das z.
Also:
z* [mm] (-5+2\wurzel{6}) [/mm] = 0
-5z + [mm] 2z\wurzel{6} [/mm] = 0
aber das ist ja falsch als Ergebnis...
Könnt ihr mir bitte Helfen
Am liebsten hätte ich echt eine Art "Kochbuch" wo ich es abarbeite nach Schema F ... :(
Danke,
steffi
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Hallo Steffi,
> Matrix:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 &3 }[/mm]
>
> Bestimmen von Eigenwerten / Vektoren / Räumen
> Hallo leute,
> ich bin echt am verzeifeln. Schreibe montag meine Klausur
> und diese blöden Eigenvektoren machen mir das Leben schwer
> !
>
> An die Eigenwerte komme ich nun mittlerweile ohne
> Probleme:
>
> Diese sind hier
>
> [mm]x_{1}[/mm] = 3
> [mm]x_{2}[/mm] = 1 + [mm]\wurzel{6}[/mm]
> [mm]x_{3}[/mm] = 1 - [mm]\wurzel{6}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> So..
> Jetzt will ich die Eigenvektoren bestimmen.
>
> Dafür habe ich mir hier eine Formel aufgeschrieben:
>
> A - [mm]\lambda[/mm] * E
>
> Wobei
> A: = meine Matrix
> [mm]\lambda[/mm] := mein Eigenwert
> E : = Einheitsmatrix
>
> So..
> Nun puzzle ich mir das Ding zusammen
> und nehme als [mm]\lambda[/mm] mein [mm]1+\wurzel{6}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 &3 }[/mm] -
> [mm](1+\wurzel{6})[/mm] * [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 &3 }[/mm] - [mm]\pmat{ 1+\wurzel{6}) & 0 & 0 \\ 0 & 1+\wurzel{6}) & 0 \\ 0 & 0 & 1+\wurzel{6}) }[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ -\wurzel{6} & 2 & 1 \\ 2 & -\wurzel{6} & -1 \\ 1 & -1 &2-\wurzel{6} }[/mm]
>
> Nun wollte ich dies Lösen in dem ich x , y, z bestimme
> durch Umformungen . . .
>
> Zunächst vertausche ich die dritte Zeile mit der erste:
>
>
> = [mm]\pmat{1 & -1 &2-\wurzel{6} \\ 2 & -\wurzel{6} & -1 \\ -\wurzel{6} & 2 & 1 }[/mm]
>
> Nun wende ich die erste Zeile mit *-2 auf die Zeite an.
> Ferner die erste Zeile mit [mm]\wurzel{6}[/mm] auf die dritte und
> erhalte:
>
> = [mm]\pmat{1 & -1 &2-\wurzel{6} \\ 0 & 2-\wurzel{6} & -4+2\wurzel{6} \\ 0 & 2-\wurzel{6} & -6+2\wurzel{6}}[/mm]
Der Rechenteufel hat da in der 2.Zeile 3. Spalte und in der 3. Zeile 3.Spalte zugeschlagen.
Es muss in der 2. Zeile 3.Spalte stehen:
[mm]\left(-2\right ) * \left ( 2-\wurzel{6}\right) + \left(-1\right) = -5+2 *\wurzel{6}[/mm]
Ebenso muß in der 3.Zeile 3.Spalte stehen:
[mm]\wurzel{6} * \left(2-\wurzel{6}\right) + 1 = -5+2*\wurzel{6}[/mm]
> Könnt ihr mir bitte Helfen
>
> Am liebsten hätte ich echt eine Art "Kochbuch" wo ich es
> abarbeite nach Schema F ... :(
>
Der Weg, den Du beschreitest, ist schon der richtige. Nur musst Du Deine Rechenfehler auf ein Minimum reduzieren.
>
> Danke,
>
> steffi
>
Gruß
MathePower
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Ich war wirklich unkonzentriert..
Jetzt habe ich da auch raus:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2-\wurzel{6} \\ 0 & 2-\wurzel{6} & -5+2\wurzel{6} \\ 0 & 2-\wurzel{6} & -5+2\wurzel{6} }
[/mm]
Okey. nun kann ich die Zeile 2 *-1 nehmen und zur unteren Addieren.
Jedoch verschwindet diese dann komplett...
Nun sehe ich aber bestimmt etwas nicht was ich sehen sollte...
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2-\wurzel{6} \\ 0 & 2-\wurzel{6} & -5+2\wurzel{6} }
[/mm]
Ich kann vllt. das [mm] x(2-\wurzel{6}) [/mm] = [mm] z(-5+\wurzel{6}) [/mm] gegenüberstellen.
Aber weiterbringen tut mich das nicht.. oder ?
Lg
steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Fr 15.02.2008 | | Autor: | Sabah |
> Ich war wirklich unkonzentriert..
> Jetzt habe ich da auch raus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2-\wurzel{6} \\ 0 & 2-\wurzel{6} & -5+2\wurzel{6} \\ 0 & 2-\wurzel{6} & -5+2\wurzel{6} }[/mm]
>
> Okey. nun kann ich die Zeile 2 *-1 nehmen und zur unteren
> Addieren.
> Jedoch verschwindet diese dann komplett...
>
> Nun sehe ich aber bestimmt etwas nicht was ich sehen
> sollte...
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2-\wurzel{6} \\ 0 & 2-\wurzel{6} & -5+2\wurzel{6} }[/mm]
>
Hallo.
Eine Zeile ist verschwunden, deswegen kannst du eine frei wählen.
[mm] \Rightarrow x_{3}=r
[/mm]
[mm] 2-\wurzel{6} x_{2}+-5+2\wurzel{6}r=0
[/mm]
daraus kannst du [mm] x_{2} [/mm] finden. Dann kannst du mit der ersten Zeile [mm] x_{1} [/mm] finden.
> Ich kann vllt. das [mm]x(2-\wurzel{6})[/mm] = [mm]z(-5+\wurzel{6})[/mm]
> gegenüberstellen.
> Aber weiterbringen tut mich das nicht.. oder ?
> Lg
> steffi
>
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> $ [mm] 2-\wurzel{6} x_{2}+-5+2\wurzel{6}r=0 [/mm] $
sicher das es so richtig ist ?
Weil [mm] 2-\wurzel{6} [/mm] steht ja für das ganze [mm] x_{2}.
[/mm]
D.h.
[mm] 2*x_{2} [/mm] - [mm] x_{2}\*\wurzel{6}
[/mm]
aber dennoch kann ich dir nicht ganz folgen. :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Sa 16.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Das hast du richtig erkannt, da fehlen noch ein paar Klammern in der Antwort.
Zum Verständnis mal ein einfaches Beispiel:
Du hast die drei Gleichungen
I. [mm] x_1+x_2+x_3=3
[/mm]
II. [mm] x_2+x_3=2
[/mm]
III. [mm] -x_2-x_3=-2
[/mm]
Hier sagen II. und III. das gleiche aus, man kann also III. streichen:
I. [mm] x_1+x_2+x_3=3
[/mm]
II. [mm] x_2+x_3=2
[/mm]
Hier solltest du auf Anhieb sehen, dass es mehr als nur eine Lösung gibt, und zwar unendlich viele. Dies ist bei allen unterbestimmten Gleichungssystemen so. Es sticht sofort ins Auge, dass [mm] x_1=x_2=x_3=1 [/mm] eine Lösung ist. Eine weitere Lösung wäre [mm] x_1=1; x_2=0,5; x_3=1,5.
[/mm]
Dies muss man nun noch auf eine allgemeine Form bringen, man sucht also, in welcher BEZIEHUNG zueinander die Variablen immer stehen müssen, damit sie die Gleichung lösen. Dazu setzen wir [mm] x_3=r [/mm] als dritte Gleichung:
I. [mm] x_1+x_2+x_3=3
[/mm]
II. [mm] x_2+x_3=2
[/mm]
III. [mm] x_3=r
[/mm]
Also:
I. [mm] x_1+x_2+r=3
[/mm]
II. [mm] x_2=2-r
[/mm]
III. [mm] x_3=r
[/mm]
Also:
I. [mm] x_1=1
[/mm]
II. [mm] x_2=2-r
[/mm]
III. [mm] x_3=r
[/mm]
Das LGS ist also immer dann gelöst, wenn [mm] x_1=1 [/mm] ist und [mm] x_2 [/mm] stets dasselbe ist, wie 2 minus [mm] x_3 [/mm] - diese Beziehung muss also bestehen.
Weiteres Beispiel:
I. [mm] x_1+x_2+x_3=3
[/mm]
II. [mm] x_2+2x_3=2
[/mm]
Hier wäre die Lösung
I. [mm] x_1=1+r
[/mm]
II. [mm] x_2=2-2r
[/mm]
III. [mm] x_3=r
[/mm]
Hier sind also alle drei Variablen voneinander abhängig.
Ich hoffe, dass alles ein bisschen klarer geworden ist!
Grüße,
Oli
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:53 Sa 16.02.2008 | | Autor: | Sabah |
[mm] \subset> [/mm] > [mm]2-\wurzel{6} x_{2}+-5+2\wurzel{6}r=0[/mm]
>
> sicher das es so richtig ist ?
>
> Weil [mm]2-\wurzel{6}[/mm] steht ja für das ganze [mm]x_{2}.[/mm]
> D.h.
Du brauchst hier nicht auszumultipliezieren.
>
> [mm]2*x_{2}[/mm] - [mm]x_{2}\*\wurzel{6}[/mm]
>
> aber dennoch kann ich dir nicht ganz folgen. :(
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Hi,
das verstehe ich jetzt leider nicht..
Wieso brauch ich nicht auszumultiplizieren ?
die [mm] 2-\wurzel{6} [/mm] stehen doch für das [b] ganze c bzw. [mm] x_{3}.
[/mm]
Stehen tut dort eigentlich [mm] c(2-\wurzel{6}).
[/mm]
Gruß,
steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Sa 16.02.2008 | | Autor: | Sabah |
Hallo
[mm] 2-\wurzel{6}X2 -5+2\wurzel{6}r=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow X2=\bruch{5-2\wurzel{6}}{2-\wurzel{6}}r
[/mm]
Jetzt kannst du X2 in die erste Zeile einsetzen, und x1 finden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Sa 16.02.2008 | | Autor: | oli_k |
Mensch, setzt doch Klammern vor die x-Koeffizienten, das ist echt verwirrend ;)
Ja, Steffi, du hast Recht - Dennoch reicht es, wenn man schreibt [mm] (a+b)*x_1 [/mm] - man muss also nicht [mm] ax_1+bx_1 [/mm] schreiben. Das meint Sabah hier wohl mit "Du musst hier nicht ausklammern".
Grüße
Oli
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Hm..
so halb kann ich dir folgen.. .
Auch wenn ich immer noch nicht verstehe warum
aus
[mm] 2-\wurzel{6} [/mm] => 2 [mm] -\wurzel{6}*X2 [/mm] und nicht => 2*X2 - [mm] \wurzel{6}*X2
[/mm]
aber auch so sehe ich nicht wie ich auf das richtige Ergebnis
[mm] v_{1} [/mm] = {1, -1, [mm] 2-\wurzel{6}} [/mm] komme...
lg,
steffi
@Oli lese jetzt erst gerade Deine Nachricht :) - Jetzt ist mir natürlich klar was gemeint ist :)
Danke ,hi hi
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Hallo Steffi,
bist du ganz sicher, dass das der (ein) richtiger Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $x_2=1+\sqrt{6}$ [/mm] ist?
Die Rechnungen sind ja nun aller berichtigt.
Du hattest die Matrix [mm] $A-(1+\sqrt{6}\cdot{}\mathbb{E}_3)$ [/mm] richtig umgeformt zu
[mm] $\pmat{1&-1&2-\sqrt{6}\\0&2-\sqrt{6}&-5+2\sqrt{6}\\0&0&0}$
[/mm]
Auch richtig war, dass du dann 1 freie Variable hast, richtig war auch, $z:=r$ mit [mm] $r\in\IR$ [/mm] zu wählen
Dann ergibt sich mit der 2.Zeile: [mm] $(2-\sqrt{6})\cdot{}y+(-5+2\sqrt{6})\cdot{}z=0$, [/mm] also mit $z=r$:
[mm] $y=\frac{5-2\sqrt{6}}{2-\sqrt{6}}\cdot{}r=\frac{1}{2}(2-\sqrt{6})\cdot{}r$
[/mm]
Und damit mit Zeile 1:
[mm] $x-y+(2-\sqrt{6})\cdot{}z=0$, [/mm] also eingesetzt [mm] $x=\frac{1}{2}(2-\sqrt{6})r+(-2+\sqrt{6})\cdot{}r=\frac{1}{2}(-2+\sqrt{6})\cdot{}r$
[/mm]
Damit hast du als Lösungsmenge die Vektoren der Gestalt:
[mm] $v=(x,y,z)^T=(\frac{1}{2}(-2+\sqrt{6})\cdot{}r, \frac{1}{2}(2-\sqrt{6})\cdot{}r, r)^T=r\cdot{}(\frac{1}{2}(-2+\sqrt{6}) ,\frac{1}{2}(2-\sqrt{6}), 1)^T$
[/mm]
Ein beliebiger Vektor daraus [mm] (\neq [/mm] 0) ist dann ein Eigenvektor zu deinem Eigenwert
Also zB auch der für [mm] $r=\frac{2}{-2+\sqrt{6}}$
[/mm]
Wenn du das ausrechnest, kommst du auf [mm] $v_{x_2}=(1, [/mm] -1, [mm] 2+\sqrt{6})^T$
[/mm]
Das passt also nicht ganz mit deinem Lösungsvektor zusammen.
Also habe entweder ich mich verrechnet oder der Lösungsvektor stimmt tatsächlich nicht ganz 
Gruß
schachuzipus
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Gegeben:
[mm] \pmat{ -3 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -3 }
[/mm]
Zu bestimmen: Eigenwerte und Eigenvektoren:
Habe mein Char. Polynom aufgestellt und die Eigenwerte bestimmt:
[mm] x_{1} [/mm] = 0
[mm] x_{2} [/mm] = -3
[mm] x_{3} [/mm] = -5
Soweit so gut 
Nun zu den Eigenvektoren...
Für -3: [mm] v_{1} [/mm] = ( 1, -2, 1)
Für 0: [mm] v_{2} [/mm] = ( 1, 1, 1)
Für -5: [mm] v_{3} [/mm] = ( -1, 0, 1)
[mm] v_{3} [/mm] ist mein Problem.
Denn das ist nämlich falsch!
Das richtige Ergebnis lautet:
( 1, 0, -1)
um die Eigenvektoren zu bestimmen verwende ich meine Formel:
A - [mm] \lambda [/mm] * E
A:= Matrix
[mm] \lambda [/mm] := -5
E:= Einheitsmatrix
Das zusammengepuzzelt ergibt:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 }
[/mm]
Vertauschen:
[mm] \pmat{1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 }
[/mm]
nun ist Zeile 2 und 3 gleich.
Also lasse ich die untere weg.
[mm] \pmat{1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 }
[/mm]
daraus folgt mein [mm] x_{3} [/mm] ist = r
Erste Zeile auf die zweite anwenden mit *-2
[mm] \pmat{1 & 3 & 1 \\ 0 & -5 & 0 }
[/mm]
daraus folgt mein [mm] x_{2} [/mm] ist = 0
Alles einsetzen
und ich erhalte [mm] x_{1} [/mm] = -r
Könnt ihr mir bitte sagen wo mein fehler ist ?
lg, steffi
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Hallo Steffi,
ich habe die Rechnung jetzt nicht nachgeschaut, ist auch nicht nötig, denn dein Eigenvektor stimmt ja auch!
Wenn [mm] $v\neq [/mm] 0$ ein Eigenvektor ist, so ist es auch jedes Vielfache (nicht das 0-fache natürlich), also auch das -1fache
Wenn also in der Musterlösung [mm] $v_3=(1, [/mm] 0, [mm] -1)^T$ [/mm] ein Eigenvektor ist, dann auch [mm] $(-1)\cdot{}v_3=(-1, [/mm] 0, [mm] 1)^T$ [/mm] ein Eigenvektor
LG
schachuzipus
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