Eigenw. 0, Isomorph, Nilpotent < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Di 06.07.2010 | | Autor: | stk66 |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, und sei [mm] f:V\to [/mm] V ein Endomorphismus.
(a) Zeige: f ist kein Isomorphismus [mm] \gdw [/mm] 0 ist ein Eigenwert von f.
(b) Sei f nilpotent. Zeige, dass f den Eigenwert 0 besitzt.
(c) Sei f nilpotent. Zeige, dass 0 der einzige Eigenwert von f ist. |
Ich komme mit dieser Aufgabe gar nicht zurecht.
Ich weiss nur, dass f nilpotent ist, falls ein [mm] m\in\IN [/mm] existiert mit [mm] f^m=0.
[/mm]
zu (a): Ein Eigenwert ist 0 heisst, es gibt einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor v, mit [mm] A\cdot [/mm] v=0. Also werden 2 verschiedene Vektoren (0 und v) auf den gleichen Vektor abgebildet, d.h. die Abbildung ist nicht bijektiv.
Wie funktioniert die Gegenrichtung?
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Ich geh lieber den Umweg über Matrizen:
Tipps:
a)
Wie sieht allgemein das charakteristische Polynom aus?
Was ist [mm] $a_1$ [/mm] und was ist [mm] $a_n$ [/mm] (Spur,...)?
Welche Eigenschaft hat A noch, wenn sie nicht invertierbar ist?
b) +c)
Umweg über Jordan-Normal-Form: Wie sieht diese aus?
Welches charakteristische Polynom hat sie?
Welche Aussage kann man über Eigenwerte hier treffen?
Komplett:
zu a) Sei A die darstellenende Matrix von f bzgl. der Standardbasis. Sei 0 ein Eigenwert von A und das charakteristische Polynom von A sei: [mm] $\chi_A(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda^n [/mm] - [mm] a_1 \lambda^{n-1} [/mm] + [mm] a_2 \lambda^{n-2}\dots [/mm] + [mm] (-1)^n a_n$. [/mm] Dabei ist [mm] $a_1$ [/mm] immer die Spur der Matrix und [mm] $a_n$ [/mm] die Detminante. Da 0 ein Eigenwert ist gilt also [mm] $0=\chi_A(0)=0+\ldots+0+(-1)^n a_n\gdw a_n=0\gdw [/mm] det [mm] (A)=0\gdw \mbox{A ist nicht invertierbar }$
[/mm]
zu b) +c) Sei A die darstellenende Matrix von f bzgl. der Standardbasis. Da A nilpotent ist existiert eine Basis bzgl der A die folgende Form hat:
[m]B= \begin{pmatrix}
J_1 & & 0 \\
& \ddots & \\
0 & & J_k \end{pmatrix}
= Q^{-1}AQ[/m] mit [mm] $J_i [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 & & & 0 \\ & 0& 1 & & \\ && \ddots{} & \ddots{}\\ &&& 0 & 1 \\ 0 & & & & 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
Es würde auch direkt gehen: Sei [mm] $\lambda$ [/mm] ein Eigenwert von A und x ein Eigenvektor, also [mm] $Ax=\lambda [/mm] x$. Da A nilpotent ist gibt es ein [mm] $k\in\IN$ [/mm] mit [mm] $A^k=0$. [/mm] Damit ist [mm] $0=A^k x=\lambda^k [/mm] x$. Preisfrage ist, wer von den beiden Faktoren Null ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Di 06.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Hallo stk66 und hallo wieschoo,
nirgendwo ist vorausgesetzt, dass V endlichdimensional ist ! Der Weg über Matrizen ist also nicht möglich.
Zu a) f kein Isomorphismus [mm] \gdw [/mm] f ist nicht injektiv [mm] \gdw [/mm] kern(f) [mm] \ne [/mm] { 0 } [mm] \gdw [/mm] 0 ist Eigenwert von f.
Zu b)
Es ex ein m [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] f^m=0 [/mm] und [mm] f^{m-1} \ne [/mm] 0. Also ex ein x [mm] \in [/mm] V mit [mm] y:=f^{m-1}(x) \ne [/mm] 0. Dann ist
$f(y) = [mm] f^m(x) [/mm] = 0$
Somit ist 0 Eigenwert von f
Zu c)
Sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigemwert von f. Es ex. also ein x [mm] \ne [/mm] 0 in V mit $f(x) = [mm] \lambda [/mm] x$. Es folgt:
[mm] $0=f^m(x) [/mm] = [mm] \lambda^m [/mm] x$,
also [mm] \lambda [/mm] = 0
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Di 06.07.2010 | | Autor: | andreas |
hallo,
> nirgendwo ist vorausgesetzt, dass V endlichdimensional ist
> ! Der Weg über Matrizen ist also nicht möglich.
>
> Zu a) f kein Isomorphismus [mm]\gdw[/mm] f ist nicht injektiv
hier muss man aufpassen, dass bei unendlichdimensionalen vektorräumen diese äquivalenz nicht mehr gilt, etwa ist für den raum der $K$-wertigen folgen $V = [mm] K^\mathbb{N}$ [/mm] der "rechtsshift" [mm] $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \mapsto (a_{n+1})_{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] zwar injektiv aber nicht bijektiv. dieser endomorphismus ist auch ein beispiel dafür, dass die äquivalenz aus der aufgabe in unendlichdimensionalen räumen nicht gilt.
grüße
andreas
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