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| Aufgabe | Sei A eine (n [mm] \times [/mm] n)-Matrix über dem Körper K. Was können Sie aus der Aussage, dass 0 ein Eigenwert von A ist, schließen?
(1) A ist nicht diagonalisierbar.
(2) A ist nicht invertierbar.
(3) A ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix mit wenigstens einer Null auf der Diagonalen. |
Hallo.
Also ich finde diese Aufgabe ist ein bisschen fies gestellt zu mindestens der letzte Teil.
Also die erste Aussage ist meiner Meinung nach falsch. Denn es könnte ja auch einfach A eine quadratische Nullmatrix sein. Dann wäre der Eigenwert ja auch 0 und die Nullmatrix ist ja schon eine Diagonalmatrix und somit diagonalisierbar. Also wäre dem zufolge die erste Aussage falsch
Die 2. Aussage ist richtig, denn schon laut Definition ist eine Matrix nicht invertierbar wenn der Eigenwert 0 ist.
Die 3 Aussage besagt ja nichts anderes als das A diagonalisierbar ist, aber müsste die Aussage dann nicht mit der gleichen Begründung falsch sein wie die erste?..oder habe ich da einen Denkfehler?
Ich wäre dankbar wenn jemand meine Verwirrung Betreff der ersten und der letzten Frage ausräumen könnte
LG Schmetterfee
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Hallo!
> Sei A eine (n [mm]\times[/mm] n)-Matrix über dem Körper K. Was
> können Sie aus der Aussage, dass 0 ein Eigenwert von A
> ist, schließen?
> (1) A ist nicht diagonalisierbar.
> (2) A ist nicht invertierbar.
> (3) A ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix mit wenigstens
> einer Null auf der Diagonalen.
> Also die erste Aussage ist meiner Meinung nach falsch. Denn
> es könnte ja auch einfach A eine quadratische Nullmatrix
> sein. Dann wäre der Eigenwert ja auch 0 und die Nullmatrix
> ist ja schon eine Diagonalmatrix und somit
> diagonalisierbar. Also wäre dem zufolge die erste Aussage
> falsch
Genau! Diesmal auch mit schönem Gegenbeispiel 
> Die 2. Aussage ist richtig, denn schon laut Definition ist
> eine Matrix nicht invertierbar wenn der Eigenwert 0 ist.
Ich weiß zwar nicht, welche Definition du meinst, aber argumentieren kannst du hier auf vielerlei Weise:
1) Wenn Eigenwert 0 vorhanden ist, gibt es einen Eigenraum zum Eigenwert 0 mit mindestens Dimension 1 --> Der Eigenraum zum Eigenwert 0 ist aber gerade der Kern von der Matrix --> Der Kern der Matrix hat mindestens Dimension 1 --> Rang = dim(Bild(A)) < n.
2) Aufgrund der Gleichung A*v = 0*v gibt es also mindestens einen Vektor [mm] v\not= [/mm] 0, der auch im Kern von A liegt, usw.
> Die 3 Aussage besagt ja nichts anderes als das A
> diagonalisierbar ist, aber müsste die Aussage dann nicht
> mit der gleichen Begründung falsch sein wie die
> erste?..oder habe ich da einen Denkfehler?
Die erste Aussage sagte: A ist nicht diagonalisierbar.
Die zweite Aussage sagt: A ist diagonalisierbar ( in einem speziellen Sinne ).
Wie kann dann ein Gegenbeispiel von a) auch eines von c) sein?
Du musst hier eine Matrix angeben, die zwar den Eigenwert 0 hat, aber nicht diagonalisierbar ist.
Grüße,
Stefan
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> Hallo!
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> > Sei A eine (n [mm]\times[/mm] n)-Matrix über dem Körper K. Was
> > können Sie aus der Aussage, dass 0 ein Eigenwert von A
> > ist, schließen?
> > (1) A ist nicht diagonalisierbar.
> > (2) A ist nicht invertierbar.
> > (3) A ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix mit
> wenigstens
> > einer Null auf der Diagonalen.
>
>
> > Also die erste Aussage ist meiner Meinung nach falsch. Denn
> > es könnte ja auch einfach A eine quadratische Nullmatrix
> > sein. Dann wäre der Eigenwert ja auch 0 und die Nullmatrix
> > ist ja schon eine Diagonalmatrix und somit
> > diagonalisierbar. Also wäre dem zufolge die erste Aussage
> > falsch
>
> Genau! Diesmal auch mit schönem Gegenbeispiel
>
Ich lern ja auch von dir die Bedeutung von Gegenbeispielen kennen
> > Die 2. Aussage ist richtig, denn schon laut Definition ist
> > eine Matrix nicht invertierbar wenn der Eigenwert 0 ist.
>
> Ich weiß zwar nicht, welche Definition du meinst, aber
> argumentieren kannst du hier auf vielerlei Weise:
>
> 1) Wenn Eigenwert 0 vorhanden ist, gibt es einen Eigenraum
> zum Eigenwert 0 mit mindestens Dimension 1 --> Der
> Eigenraum zum Eigenwert 0 ist aber gerade der Kern von der
> Matrix --> Der Kern der Matrix hat mindestens Dimension 1
> --> Rang = dim(Bild(A)) < n.
>
> 2) Aufgrund der Gleichung A*v = 0*v gibt es also mindestens
> einen Vektor [mm]v\not=[/mm] 0, der auch im Kern von A liegt, usw.
>
okay, dass habe ich soweit verstanden..
> > Die 3 Aussage besagt ja nichts anderes als das A
> > diagonalisierbar ist, aber müsste die Aussage dann nicht
> > mit der gleichen Begründung falsch sein wie die
> > erste?..oder habe ich da einen Denkfehler?
>
> Die erste Aussage sagte: A ist nicht diagonalisierbar.
> Die zweite Aussage sagt: A ist diagonalisierbar ( in einem
> speziellen Sinne ).
> Wie kann dann ein Gegenbeispiel von a) auch eines von c)
> sein?
>
> Du musst hier eine Matrix angeben, die zwar den Eigenwert 0
> hat, aber nicht diagonalisierbar ist.
>
naja das wäre dann doch zum Beispiel [mm] A=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] oder?
hat den eigenwert 0, aber wenn es diaonlaisierbar wäre, dann müsste ja gelten [mm] S^{-1}*A*S=0 [/mm] mit S [mm] \in [/mm] GL(n,K) daraus würde dann ja folgen, dass A=0 ist und das wäre dann ja ein Wiederspruch.
LG Schmetterfee
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Hallo!
> > Die erste Aussage sagte: A ist nicht diagonalisierbar.
> > Die zweite Aussage sagt: A ist diagonalisierbar ( in
> einem
> > speziellen Sinne ).
> > Wie kann dann ein Gegenbeispiel von a) auch eines von
> c)
> > sein?
> >
> > Du musst hier eine Matrix angeben, die zwar den Eigenwert 0
> > hat, aber nicht diagonalisierbar ist.
> >
> naja das wäre dann doch zum Beispiel [mm]A=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
> oder?
> hat den eigenwert 0, aber wenn es diaonlaisierbar wäre,
> dann müsste ja gelten [mm]S^{-1}*A*S=0[/mm] mit S [mm]\in[/mm] GL(n,K)
> daraus würde dann ja folgen, dass A=0 ist und das wäre
> dann ja ein Wiederspruch.
Genau! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
--> Also kann A nicht diagonalisierbar sein, ist somit auch nicht ähnlich zu einer Diagonalmatrix.
Grüße,
Stefan
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Danke für deine Hilfe. Jetzt habe ich auch den Unterschied zwischen Aussage 1 und 3 richtig erkannt.
LG Schmetterfee
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