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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - EigenwertAbbildungseigenschaft
EigenwertAbbildungseigenschaft < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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EigenwertAbbildungseigenschaft: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:16 Mo 24.08.2020
Autor: ichgast

Aufgabe
A = [mm] \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \,\,\,\,\,\, [/mm]  a,b [mm] \neq 0,a^{2} [/mm] = [mm] 1-b^{2} [/mm]
Berechnen Sie die Eigenwerte von A und interpretieren Sie das Ergebnis.Charakterisieren Sie dann (mit Begründung)die Abbildungseigenschaft der Matrix A.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bei mir habe ich die Eigenwerte
[mm] x_1 [/mm] = a + [mm] \sqrt{\frac{4}{1-b^{2}} - 1} [/mm]
[mm] x_2 [/mm] = a - [mm] \sqrt{\frac{4}{1-b^{2}} - 1} [/mm]
Ich habe keine Idee was ich interpretieren soll oder die Abbildungseigenschaft der Matrix A charakterisieren soll.
Bitte um Hilfe

        
Bezug
EigenwertAbbildungseigenschaft: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:44 Mo 24.08.2020
Autor: leduart

Wie du auf die Eigenwerte kommst sehe ich nicht
du hast doch [mm] (a-x)^2+b^2=0 [/mm] also x=a+-i*b
ausserdem [mm] det(A)=a^2+b^2= [/mm] 1 also ist die Abbildung flächentreu und fals a,b reell was wahr ist denn da steht a,b>0  gilt a<1 und b<1
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
EigenwertAbbildungseigenschaft: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Mo 24.08.2020
Autor: ichgast

Mit komplexen Zahlen sollen wir eigendlich nicht rechnen.
also meine schritte die ich gemacht habe waren:
[mm] (a-x)^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm]

[mm] a^2- [/mm] 2ax + [mm] x^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm]

1 - [mm] b^2 [/mm] - 2ax + [mm] x^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm]  hier habe ich [mm] a^2 [/mm] durch [mm] 1-b^2 [/mm] ersetzt

[mm] x^2 [/mm] - 2ax + 1

dann bin ich auf meine eigenwerte gekommen


Bezug
                        
Bezug
EigenwertAbbildungseigenschaft: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 Mo 24.08.2020
Autor: chrisno


>  
> [mm]x^2[/mm] - 2ax + 1

Rechne noch einmal die Lösung dieser quadratischen Gleichung aus.

Bezug
                                
Bezug
EigenwertAbbildungseigenschaft: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 Mo 24.08.2020
Autor: ichgast

ja hab mich verrechnet, Lösung :
[mm] x_1 [/mm] = a + [mm] \wurzel{a^2 -1} [/mm]
[mm] x_2 [/mm] = a - [mm] \wurzel{a^2 -1} [/mm]

Ich kann aber noch immer nicht sagen was ich daraus erkennen soll.

Bezug
                                        
Bezug
EigenwertAbbildungseigenschaft: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:51 Mo 24.08.2020
Autor: leduart

Hallo
1. Bei uns sagt man, wenn man auch noch in anderen Foren frägt.
2. du kannst sehen, du hast keinen reellen Eigenwert.  da [mm] a^2-1=-b^2<0 [/mm]
wegen [mm] a^2+b^2=1 [/mm] kannst du [mm] a=cos(\alpha), b=sin(\alpha [/mm] setzen und siehst dass es eine Drehung um den Winkel  [mm] \alpha=arctan(a/b) [/mm] ist.  entdecken kann man das auch, wenn man für a und b passende zahlenpaare einsetzt und das Bild der Basisvektoren zeichnet.
Gruß ledum


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