Eigenwert Bestimmung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
vorab muss ich sagen, es ist mir fast etwas peinlich die Frage hier zu stellen. Es geht um eine Klausuraufgabe in LinA2. Thema war eine Quadrik auf Normalform zu bringen um ihre geometrische Form zu finden.
Wie es funktioniert, kein Problem, versteh ich alles.
Nur bekam ich in der Klausur ein Problem, die Eigenräume zu finden.
Folgendes: (A sei [mm] \pmat{ 0 & 0 & -\sqrt3 \\ 0 & 3 & 0 \\ -\sqrt3 & 0 & 2 } [/mm] )
[mm] det( \lambda *E_3 -A )=...= \lambda(\lambda -3)(\lambda -2)-3(\lambda-3)[/mm]
So, die richtige Lößung kann ich finden, indem ich [mm] (\lambda [/mm] -3) ausklammere und dann die eine Klammer auflöse, die daraus resultierende quadratische Formel löse. NST sind 3 (doppelt) und -1.
Jetzt an die Eigenräume:
[mm] ker(A+E_3)
[/mm]
[mm] ker(A-3E_3)
[/mm]
mit Gauss umformen, dann komme ich auf die Eigenräume:
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{\sqrt3 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
stimmt das soweit?
Dann Transformationmsmatrix von neuer ONB in die Std. Basis:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & \bruch{ \sqrt3}{2} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{2} }
[/mm]
hier bin ich mir ziemlich sicher, dass irgendwo ein Fehler ist, kann mir da jemand helfen?
Michael
|
|
| |
|
Hallo DjHighlife,
> Hallo,
>
> vorab muss ich sagen, es ist mir fast etwas peinlich die
> Frage hier zu stellen. Es geht um eine Klausuraufgabe in
> LinA2. Thema war eine Quadrik auf Normalform zu bringen um
> ihre geometrische Form zu finden.
> Wie es funktioniert, kein Problem, versteh ich alles.
> Nur bekam ich in der Klausur ein Problem, die Eigenräume
> zu finden.
>
> Folgendes: (A sei [mm]\pmat{ 0 & 0 & -\sqrt3 \\
0 & 3 & 0 \\
-\sqrt3 & 0 & 2 }[/mm]
> )
>
> [mm]det( \lambda *E_3 -A )=...= \lambda(\lambda -3)(\lambda -2)-3(\lambda-3)[/mm]
>
> So, die richtige Lößung
??? Lösung !!!
> kann ich finden, indem ich
> [mm](\lambda[/mm] -3) ausklammere und dann die eine Klammer
> auflöse, die daraus resultierende quadratische Formel
> löse. NST sind 3 (doppelt) und -1. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt an die Eigenräume:
>
> [mm]ker(A+E_3)[/mm]
> [mm]ker(A-3E_3)[/mm]
>
> mit Gauss umformen, dann komme ich auf die Eigenräume:
>
> [mm]\vektor{0 \\
1 \\
0}[/mm] und [mm]\vektor{\sqrt3 \\
0 \\
1}[/mm]
Das sind keine Eigenräume, bloß 2 in der Luft stehende Vektoren ...
Richtig ist, dass [mm]\vektor{\sqrt 3\\
0\\
1}[/mm] ein erzeugender Vektor des Eigenraumes zum Eigenwert [mm]\lambda=-1[/mm], mithin [mm] $\left\{\vektor{\sqrt 3\\
0\\
1}\right\}$ [/mm] eine Basis desselben ist, also [mm]E(-1)=\left\langle\vektor{\sqrt 3\\
0\\
1}\right\rangle[/mm]
Der Eigenraum zum Eigenwert [mm]\lambda=3[/mm] ist allerdings zweidimensional, wenn du [mm]\operatorname{ker(A-3E_3)}[/mm] mit Gauß berechnest, sollte sich eine zweidimensionale Lösung ergeben ...
Rechne mal vor, was du da gerechnet hast ...
>
> stimmt das soweit?
>
> Dann Transformationmsmatrix von neuer ONB in die Std.
> Basis:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & \bruch{ \sqrt3}{2} \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \bruch{1}{2} }[/mm]
>
> hier bin ich mir ziemlich sicher, dass irgendwo ein Fehler
> ist, kann mir da jemand helfen?
>
> Michael
>
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo,
Hier meine Eigenraumberechnung für den Eigenwert 3:
[mm]
ker(A-3E_3) = ker \pmat{ -3 & 0 & - \sqrt3 \\ 0 & 0 & 0 \\ - \sqrt3 & 0 & -1 }
[/mm]
Überführen in ein lin. GLS und Lösen mit Gauss-Algo.:
[mm]
\begin{vmatrix}
-3 & 0 & - \sqrt3 \\ 0 & 0 & 0 \\ - \sqrt3 & 0 & -1
\end{vmatrix}
\overrightarrow {\sqrt3 III - I}
\begin{vmatrix}
-3 & 0 & - \sqrt3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{vmatrix}
Hatte einen Vorzeichenfehler! ;)
$ E(3)=\left\langle \vektor{0 \\ 1 \\ 0} \vektor{- \bruch{\sqrt{ 3 }}{3}\\ 0\\ 1}\right\rangle $
[/mm]
Hoffe das stimmt jetzt. Da A ja sym. ist, stehen Eigenräume orthogonal, hier stehen aber auch die einzelnen Eigenvektoren orthogonal zueinander, was nicht immer sein muss.
Dann noch die Transformationsmatrix T von neuer ONB in die Std. ONB:
[mm] T=\pmat{ \bruch{-\sqrt3}{4} & 0 & \bruch{\sqrt3}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \bruch{3}{4} & 0 & \bruch{1}{2} }
[/mm]
Danke,
Michael
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Fr 21.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> Hier meine Eigenraumberechnung für den Eigenwert 3:
> [mm]
ker(A-3E_3) = ker \pmat{ -3 & 0 & - \sqrt3 \\ 0 & 0 & 0 \\ - \sqrt3 & 0 & -1 }
[/mm]
>
> Überführen in ein lin. GLS und Lösen mit Gauss-Algo.:
> [mm]
\begin{vmatrix}
-3 & 0 & - \sqrt3 \\ 0 & 0 & 0 \\ - \sqrt3 & 0 & -1
\end{vmatrix}
\overrightarrow {\sqrt3 III - I}
\begin{vmatrix}
-3 & 0 & - \sqrt3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{vmatrix}
Hatte einen Vorzeichenfehler! ;)
$ E(3)=\left\langle \vektor{0 \\ 1 \\ 0} \vektor{- \bruch{\sqrt{ 3 }}{3}\\ 0\\ 1}\right\rangle $
[/mm]
>
> Hoffe das stimmt jetzt.
Es stimmt.
FRED
> Da A ja sym. ist, stehen
> Eigenräume orthogonal, hier stehen aber auch die einzelnen
> Eigenvektoren orthogonal zueinander, was nicht immer sein
> muss.
>
> Danke,
> Michael
|
|
|
|
