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| Aufgabe | a) Bestimmen sie alle Eigenwerte der Matrix
A: [mm] \pmat{ 2 & 4 & 4\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 3 }
[/mm]
b) Es sei B [mm] \in Mat_{nxn} (\IC) [/mm] diagonalisierbar und es gelte für die Eigenwerte [mm] \lambda_1 [/mm] bis [mm] \lambda_n [/mm] von B [mm] \lambda_k \in [/mm] {-1,1} , k= 1,...,n
Zeigen Sie:
[mm] B^2 [/mm] = In, dabei bezeichnet In die Einheitsmatrix
c) Zeigen sie, dass die Aussage aus B falsch wird, wenn man die Vorraussetzung diagonalisierbar weglässt. |
huhu,
also zu a) hab ich schon die reellen Eigenwerte raus, aber gibt es auch komplexe? das char. Polynom:
[mm] \lambda^3 [/mm] -6 [mm] \lambda^2 [/mm] + 12 [mm] \lambda [/mm] - 8 = 0
=> [mm] \lambda_{1,2,3} [/mm] = 2 (im reellen)
Ausserdem hab ich raus, dass die Matrix in [mm] \IR [/mm] nicht diagonalisierbar ist. Heisst das automatisch, dass die Matrix in [mm] \IC [/mm] auch nicht diagonalisierbar ist? Oder sind alle Matrizen in [mm] \IC [/mm] diagonalisierbar?
b) für Diagonalisierbarkeit muss ich ja fordern, dass die Eigenwerte paarweise versch sind, d.h. bei einer Matriz n x n mit n gerade hab ich Hälfte -1 andere Hälfte 1 als Eigenwerte. Bei ungerade hätte ich z.b. -1 über ohne "Partner" , aber durch das Quadrieren wird das ja ausgeglichen. Ich dachte vlt daran, es über die Determinante zu zeigen.
c) bin mir nicht sicher, aber ist jede diagonalisierbare Matrix unitär? bzw was bedeutet in [mm] \IC [/mm] NICHT diagonalisierbar?
Lg,
Eve
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 So 06.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> a) Bestimmen sie alle Eigenwerte der Matrix
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> A: [mm]\pmat{ 2 & 4 & 4\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 3 }[/mm]
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> b) Es sei B [mm]\in Mat_{nxn} (\IC)[/mm] diagonalisierbar und es
> gelte für die Eigenwerte [mm]\lambda_1[/mm] bis [mm]\lambda_n[/mm] von B
> [mm]\lambda_k \in[/mm] {-1,1} , k= 1,...,n
>
> Zeigen Sie:
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> [mm]B^2[/mm] = In, dabei bezeichnet In die Einheitsmatrix
>
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> c) Zeigen sie, dass die Aussage aus B falsch wird, wenn man
> die Vorraussetzung diagonalisierbar weglässt.
> huhu,
>
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> also zu a) hab ich schon die reellen Eigenwerte raus, aber
> gibt es auch komplexe? das char. Polynom:
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> [mm]\lambda^3[/mm] -6 [mm]\lambda^2[/mm] + 12 [mm]\lambda[/mm] - 8 = 0
>
> => [mm]\lambda_{1,2,3}[/mm] = 2 (im reellen)
Das stimmt.
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> Ausserdem hab ich raus, dass die Matrix in [mm]\IR[/mm] nicht
> diagonalisierbar ist.
Wie hast Du das gemacht ?
> Heisst das automatisch, dass die
> Matrix in [mm]\IC[/mm] auch nicht diagonalisierbar ist? Oder sind
> alle Matrizen in [mm]\IC[/mm] diagonalisierbar?
Wenn die Matrix über [mm] \IR [/mm] nicht diagonalisierbar ist, so auch nicht über [mm] \IC
[/mm]
Edit: obiges ist Quatsch.
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>
> b) für Diagonalisierbarkeit muss ich ja fordern, dass die
> Eigenwerte paarweise versch sind,
Unsinn. Die Einheitsmatrix ist prima diagonalisierbar.
> d.h. bei einer Matriz n x
> n mit n gerade hab ich Hälfte -1 andere Hälfte 1 als
> Eigenwerte. Bei ungerade hätte ich z.b. -1 über ohne
> "Partner" , aber durch das Quadrieren wird das ja
> ausgeglichen. Ich dachte vlt daran, es über die
> Determinante zu zeigen.
Es gibt eine Basis [mm] b_1,...,b_n [/mm] des [mm] \IC^n [/mm] mit
[mm] Bb_j=s_jb_j [/mm] (j=1,....,n) mit [mm] s_j= \pm [/mm] 1
Berechne nun [mm] B^2b_j.
[/mm]
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> c) bin mir nicht sicher, aber ist jede diagonalisierbare
> Matrix unitär?
Nein. Die Nullmatrix ist diagonalisuerbar, aber nicht unitär.
> bzw was bedeutet in [mm]\IC[/mm] NICHT
> diagonalisierbar?
Es gibt keine Basis des [mm] \IC^n, [/mm] die aus Eigenvektoren der Matrix besteht.
Bei c) sollst Du ein Gegenbeispiel finden !
FRED
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> Lg,
>
> Eve
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huhu
ich hab ein bisschen rumgegooglet, und da steht ein Satz
.."Die Matrix A in Beispiel 6.2.12 ist diagonalisierbar über [mm] \IC [/mm] , aber nicht über [mm] \IR [/mm] " Zitat aus
http://www.iazd.uni-hannover.de/~erne/lina1/dateien/linAlg6.pdf
Seite 74 unter 6.3.7 Beispiele> > > >
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> Wenn die Matrix über [mm]\IR[/mm] nicht diagonalisierbar ist, so
> auch nicht über [mm]\IC[/mm]
> >
bist du dir ganz sicher?^^
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> huhu
>
> ich hab ein bisschen rumgegooglet, und da steht ein Satz
>
> .."Die Matrix A in Beispiel 6.2.12 ist diagonalisierbar
> über [mm]\IC[/mm] , aber nicht über [mm]\IR[/mm] " Zitat aus
>
> http://www.iazd.uni-hannover.de/~erne/lina1/dateien/linAlg6.pdf
>
> Seite 74 unter 6.3.7 Beispiele> > > >
>
>
> >
> > Wenn die Matrix über [mm]\IR[/mm] nicht diagonalisierbar ist, so
> > auch nicht über [mm]\IC[/mm]
> > >
> bist du dir ganz sicher?^^
Hoppla, was ich da geschrieben habe, ist Unsinn
FRED
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> a) Bestimmen sie alle Eigenwerte der Matrix
>
> A: [mm]\pmat{ 2 & 4 & 4\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 3 }[/mm]
>
> b) Es sei B [mm]\in Mat_{nxn} (\IC)[/mm] diagonalisierbar und es
> gelte für die Eigenwerte [mm]\lambda_1[/mm] bis [mm]\lambda_n[/mm] von B
> [mm]\lambda_k \in[/mm] {-1,1} , k= 1,...,n
>
> Zeigen Sie:
>
> [mm]B^2[/mm] = In, dabei bezeichnet In die Einheitsmatrix
>
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> c) Zeigen sie, dass die Aussage aus B falsch wird, wenn man
> die Vorraussetzung diagonalisierbar weglässt.
> huhu,
>
>
> also zu a) hab ich schon die reellen Eigenwerte raus, aber
> gibt es auch komplexe? das char. Polynom:
>
> [mm]\lambda^3[/mm] -6 [mm]\lambda^2[/mm] + 12 [mm]\lambda[/mm] - 8 = 0
>
> => [mm]\lambda_{1,2,3}[/mm] = 2 (im reellen)
>
> Ausserdem hab ich raus, dass die Matrix in [mm]\IR[/mm] nicht
> diagonalisierbar ist.
huhu
weiß jmd wie ich herausfinde, ob die Matrix in [mm] \IC [/mm] diagonalisierbar ist bzw ich die Eigenwerte rauskriege, die komplex sind? Also aus dem char. Polynom oben
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > a) Bestimmen sie alle Eigenwerte der Matrix
> >
> > A: [mm]\pmat{ 2 & 4 & 4\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 3 }[/mm]
> >
> > b) Es sei B [mm]\in Mat_{nxn} (\IC)[/mm] diagonalisierbar und es
> > gelte für die Eigenwerte [mm]\lambda_1[/mm] bis [mm]\lambda_n[/mm] von B
> > [mm]\lambda_k \in[/mm] {-1,1} , k= 1,...,n
> >
> > Zeigen Sie:
> >
> > [mm]B^2[/mm] = In, dabei bezeichnet In die Einheitsmatrix
> >
> >
> > c) Zeigen sie, dass die Aussage aus B falsch wird, wenn man
> > die Vorraussetzung diagonalisierbar weglässt.
> > huhu,
> >
> >
> > also zu a) hab ich schon die reellen Eigenwerte raus, aber
> > gibt es auch komplexe? das char. Polynom:
> >
> > [mm]\lambda^3[/mm] -6 [mm]\lambda^2[/mm] + 12 [mm]\lambda[/mm] - 8 = 0
> >
> > => [mm]\lambda_{1,2,3}[/mm] = 2 (im reellen)
> >
> > Ausserdem hab ich raus, dass die Matrix in [mm]\IR[/mm] nicht
> > diagonalisierbar ist.
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> huhu
> weiß jmd wie ich herausfinde, ob die Matrix in [mm]\IC[/mm]
> diagonalisierbar ist bzw ich die Eigenwerte rauskriege, die
> komplex sind? Also aus dem char. Polynom oben
Auch im Komplexen hat das Polynom
$ [mm] \lambda^3 [/mm] $ -6 $ [mm] \lambda^2 [/mm] $ + 12 $ [mm] \lambda [/mm] $ - 8
die 3 -fache Nullstelle [mm] \lambda=2.
[/mm]
FRED
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