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Eigenwert Drehung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:42 Mo 07.05.2018
Autor: Maxi1995

Hallo,
ich überlege gerade, warum eine Drehung im [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] keine reellen Eigenwerte hat, wenn der Drehwinkel [mm] $\neq [/mm] 0 , [mm] \pi$ [/mm] ist. Ich danke für eure Hilfe.
Liebe Grüße
Maxi




Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Eigenwert Drehung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 Mo 07.05.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo,
> ich überlege gerade, warum eine Drehung im [mm]\mathbb{R}^2[/mm]
> keine reellen Eigenwerte hat, wenn der Drehwinkel [mm]\neq 0 , \pi[/mm]
> ist. Ich danke für eure Hilfe.
> Liebe Grüße
> Maxi

Ad hoc hätte ich dir eine geometrische Erklärung anzubieten.

Eigenvektoren (zu Eigenwerten ungleich Null) im [mm] \IR^n [/mm] , [mm]n \in \left \{ 2,3 \right \}[/mm] haben ja eine wichtige geometrische Deutung: ihre Richtung bleibt unter der betreffenden linearen Abbildung erhalten (bis auf den Richtungssinn, der ändert sich bei negativen Eigenwerten).

Bei einer Drehung bleiben Abstände erhalten. Wenn überhaupt, dann könnten die Eigenwerte einer Drehung 1 bzw. -1 sein. Für Drehwinkel ungleich [mm] \left\{0,\pi\right\} [/mm] wird das aber nichts, da ja jeder Vektor um den gleichen Winkel gedreht wird. Für den trivialen Fall [mm] \alpha=0 [/mm] bleiben alle Vektoren gleich (->EW=1), für [mm] \alpha=\pi [/mm] ändern alle Vektoren ihren Richtungssinn (EW=-1).

Einen Eigenwert von 0 kann es bei einer Drehung nicht geben, denn sonst müsste irgendeine Richtung auf das Maß Null 'geschrumpft' werden.

Das rechnet man mit Hilfe der Drehmatrix im [mm] \IR^2 [/mm] auch leicht nach, da fehlt mir aber jetzt die Zeit zum eintippen (daher setze ich auf 'teilweise beantwortet').


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Eigenwert Drehung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:20 Mo 07.05.2018
Autor: fred97

Um Diophants Antwort zu ergänzen: Eine Drehmatrix A ist eine orthogonale Matrix, also $A^TA=E.$

Ist dann [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A, so ist [mm] |\lambda|=1, [/mm] also [mm] \lambda \in \{ -1, 1\}. [/mm]

Hilft das ?



Bezug
                
Bezug
Eigenwert Drehung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:45 Mi 09.05.2018
Autor: Maxi1995

Vielen Dank für eure Antworten, ich werde darüber nachdenken und mir das etwas formaler überlegen und es dann kurz vorstellen.

Bezug
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