Eigenwert Matrix < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 So 20.01.2013 | | Autor: | Fatih17 |
Hallo liebe Gemeinde,
ich habe folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 6 & 0 & 5 \\ -13 & -1 & 210 \\ 2 & 0 & -1 } [/mm] und soll die Eigenwert bestimmen:
Zunächst für die Nullstelle -1 des charakteristischen Polynoms der Matrix:
( [mm] \pmat{ 6 & 0 & 5 \\ -13 & -1 & 210 \\ 2 & 0 & -1 } [/mm] - [mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 } [/mm] ) * [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Habe ich die Matrix:
[mm] \pmat{ 7 & 0 & 5 \\ -13 & 0 & 210 \\ 2 & 0 & 0 }
[/mm]
Daraus folgt:
2x1=0
7x1=-5x3
-13x1=-210x3
Somit sind x1=0 und x3=0 und x2=0 ?
Damit erhalten ich den Vektor:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
in der Musterlösung und auch im Online Rechner kommt jedoch:
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Warum? Ist x2 nicht =0?
MFG
Fatih
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> Hallo liebe Gemeinde,
>
> ich habe folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 6 & 0 & 5 \\
-13 & -1 & 210 \\
2 & 0 & -1 }[/mm] und soll
> die Eigenwert bestimmen:
>
> Zunächst für die Nullstelle -1 des charakteristischen
> Polynoms der Matrix:
>
> ( [mm]\pmat{ 6 & 0 & 5 \\
-13 & -1 & 210 \\
2 & 0 & -1 }[/mm] -
> [mm]\pmat{ -1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1 }[/mm] ) *
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]
>
> Habe ich die Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 7 & 0 & 5 \\
-13 & 0 & 210 \\
2 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Daraus folgt:
>
> 2x1=0
> 7x1=-5x3
> -13x1=-210x3
>
> Somit sind x1=0 und x3=0
Hallo,
richtig.
> und x2=0 ?
Nein. Das hast Du Dir ausgedacht.
Über [mm] x_2 [/mm] steht da gar nichts.
[mm] x_2 [/mm] kannst Du beliebig wählen.
Etwa [mm] x_2=4711.
[/mm]
Oder [mm] x_2=1.
[/mm]
[mm] x_2=0 [/mm] wählst Du natürlich nicht,denn der Nullvektor kann lt. Def. kein Eigenvektor sein.
LG Angela
>
> Damit erhalten ich den Vektor:
> [mm]\vektor{0 \\
0 \\
0}[/mm]
>
> in der Musterlösung und auch im Online Rechner kommt
> jedoch:
>
> [mm]\vektor{0 \\
1 \\
0}[/mm]
>
> Warum? Ist x2 nicht =0?
>
> MFG
> Fatih
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 So 20.01.2013 | | Autor: | Fatih17 |
Hallo nochmal,
danke sehr, habe glatt übersehen dass da 0x2=0 steht und die Gleichung quasi immer erfüllt ist :)
MFG
Fatih
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 So 20.01.2013 | | Autor: | Fatih17 |
Guten Abend nochmal,
ich hätte da noch eine Frage zu der obigen:
Folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 3 & 5 & 5 \\ -5 & -7 & -5 \\ 5 & 5 & 3 }
[/mm]
Ich muss nun für [mm] \lambda [/mm] = 3 den Vektor berechnen und bin zu dieser Matrix gekommen:
[mm] \pmat{ 0 & 5 & 5 \\ -5 & -10 & -5 \\ 5 & 5 & 0 }
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] -x_{3}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] -x_{2}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] -x_{2}
[/mm]
hätte also normalerweise den Vektor:
[mm] \vektor{-x_{2} \\ -x_{3} \\ -x_{2}} [/mm] = [mm] x_{3} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 0} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
Andererseits, wenn ich [mm] x_{3} [/mm] = [mm] -x_{2} [/mm] oben einsetze habe ich:
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] x_{2}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] -x_{2}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] -x_{2}
[/mm]
und somit:
[mm] x_{2} [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
Bei dem Online Rechner hat er jedoch:
[mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
heraus! Das tut es auch, wenn man nach [mm] x_{3} [/mm] geht, aber wann weiß ich welches richtig ist und welches falsch? Durch wildes einsetzen, kann man das so Interpretieren oder auch andersherum, hier gibt es 3 Möglichkeiten.
MFG
Fatih
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Hallo Fatih17,
> Guten Abend nochmal,
>
> ich hätte da noch eine Frage zu der obigen:
>
> Folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 3 & 5 & 5 \\
-5 & -7 & -5 \\
5 & 5 & 3 }[/mm]
>
> Ich muss nun für [mm]\lambda[/mm] = 3 den Vektor berechnen und bin
> zu dieser Matrix gekommen:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 5 & 5 \\
-5 & -10 & -5 \\
5 & 5 & 0 }[/mm]
>
> Daraus folgt:
>
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]-x_{3}[/mm]
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]-x_{2}[/mm]
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]-x_{2}[/mm]
Boah, das liest du so ab aus der Matrix?!
Ich würde das ja stur in Zeilenstufenform bringen und dann alles ablesen ...
'Meine' Rechnung ist aber mit deinen Gleichungen konsistent, also passt das wohl!
>
> hätte also normalerweise den Vektor:
>
> [mm]\vektor{-x_{2} \\
-x_{3} \\
-x_{2}}[/mm] = [mm]x_{3}[/mm] * [mm]\vektor{0 \\
-1 \\
0}[/mm]
> + [mm]x_{2}[/mm] * [mm]\vektor{-1 \\
0 \\
-1}[/mm]
>
> Andererseits, wenn ich [mm]x_{3}[/mm] = [mm]-x_{2}[/mm] oben einsetze habe
> ich:
>
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm]
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]-x_{2}[/mm]
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]-x_{2}[/mm]
>
> und somit:
>
> [mm]x_{2}[/mm] * [mm]\vektor{-1 \\
1 \\
-1}[/mm]
>
> Bei dem Online Rechner hat er jedoch:
>
> [mm]\vektor{1 \\
-1 \\
1}[/mm]
>
> heraus! Das tut es auch, wenn man nach [mm]x_{3}[/mm] geht, aber
> wann weiß ich welches richtig ist und welches falsch?
Beides ist richtig.
Mit einem Eigenvektor ist doch auch jedes Vielfache (außer dem Nullfachen, das wäre ja der Nullvektor) ein Eigenvektor.
Du bestimmst ja immer eine ganze Menge von Eigenvektoren (den Eigenraum zu dem jeweiligen Eigenwert (ohne Nullvektor)) und suchst dir einen "schönen" EV aus ...
> Durch wildes einsetzen, kann man das so Interpretieren oder
> auch andersherum, hier gibt es 3 Möglichkeiten.
Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, die man sehr sehr schnell ablesen kann, wenn man die obige Matrix in ZSF bringt.
Die Eigenvektoren zum Eigenwert [mm]\lambda=3[/mm] sind von der Form
[mm]t\cdot{}\vektor{-1\\
1\\
-1}[/mm] mit [mm]t\in\IR\setminus\{0\}[/mm]
Der online-Rechner hat sich für den mit [mm]t=-1[/mm] entschieden.
Auch für [mm]t=\sqrt[3]{\frac{\pi}{e^2}}[/mm] würdest du einen passenden Eigenvektor finden ...
>
> MFG
> Fatih
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 So 20.01.2013 | | Autor: | Fatih17 |
Hallo nochmal,
danke für die rasche Antwort. Aber es geht mir auch um diese Schreibweise:
[mm] x_{3} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 0} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
Womit ich ja wieder 2 Eigenvektoren hätte. Ich sage hier wieder, weil ich aus vorheriger Aufgabe schon für [mm] \lambda [/mm] = -2 , zwei Eigenvektoren bestimmt habe diese wären:
[mm] \vec{a}=\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vec{b}=\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Aus der obigen Form lese ich dann weitere 2 Vektoren raus womit wir auf:
[mm] \vec{a}=\vektor{-1 \\ 1 \\ 0} \vec{b}=\vektor{-1 \\ 0 \\ 1} \vec{c}=\vektor{0 \\ -1 \\ 0} \vec{d}=\vektor{-1 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
kommen. Ich benötige diese Vektoren um eine Matrix zu bilden, um die Diagonalisierbarkeit zu zeigen. Hätte dann aber eine 3x4. Das kann doch nicht korrekt sein oder?
MFG
Fatih
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> Hallo nochmal,
>
> danke für die rasche Antwort. Aber es geht mir auch um
> diese Schreibweise:
>
> [mm]x_{3}[/mm] * [mm]\vektor{0 \\
-1 \\
0}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] * [mm]\vektor{-1 \\
0 \\
-1}[/mm]
>
> Womit ich ja wieder 2 Eigenvektoren hätte.
Hallo,
die beiden Eigenvektoren haben ganz eine unschöne Eigenschaft: es sind keine Eigenvektoren...
> Ich sage hier
> wieder, weil ich aus vorheriger Aufgabe schon für [mm]\lambda[/mm]
> = -2 , zwei Eigenvektoren bestimmt habe diese wären:
>
> [mm]\vec{a}=\vektor{-1 \\
1 \\
0}[/mm]
> [mm]\vec{b}=\vektor{-1 \\
0 \\
1}[/mm]
>
> Aus der obigen Form lese ich dann weitere 2 Vektoren raus
> womit wir auf:
>
> [mm]\vec{a}=\vektor{-1 \\
1 \\
0} \vec{b}=\vektor{-1 \\
0 \\
1} \vec{c}=\vektor{0 \\
-1 \\
0} \vec{d}=\vektor{-1 \\
0 \\
-1}[/mm]
>
>
>
>
> kommen. Ich benötige diese Vektoren um eine Matrix zu
> bilden, um die Diagonalisierbarkeit zu zeigen. Hätte dann
> aber eine 3x4. Das kann doch nicht korrekt sein oder?
Richtig erkannt.
S. meine andere Antwort.
LG Angela
>
> MFG
> Fatih
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> Guten Abend nochmal,
>
> ich hätte da noch eine Frage zu der obigen:
>
> Folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 3 & 5 & 5 \\
-5 & -7 & -5 \\
5 & 5 & 3 }[/mm]
Hallo,
hat die Eigenwerte 3 und -2.
>
> Ich muss nun für [mm]\lambda[/mm] = 3 den Vektor berechnen und bin
> zu dieser Matrix gekommen:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 5 & 5 \\
-5 & -10 & -5 \\
5 & 5 & 0 }[/mm]
>
> Daraus folgt:
Jetzt machen wir das mal manierlich, indem wir die matrix auf ZSF bringen:
[mm] $\pmat{ 0 & 5 & 5 \\ -5 & -10 & -5 \\ 5 & 5 & 0 }$-->$\pmat{ 5 & 5 & 0//0 & 5 & 5 \\ -5 & -10 & -5 }$-->$\pmat{ 5 & 5 & 0//0 & 5 & 5 \\ 0 & -5 & -5 }$-->$\pmat{ \red{1} & 1 & 0//0 & \red{1} & 1 \\ 0 & 0 & 0 }$
[/mm]
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen (rot) stehen in der 1. und 2. Spalte, also kann man die 3.Variable frei wählen.
Mit
[mm] x_3=t
[/mm]
bekommt man aus Zeile 2
[mm] x_2=-x_3=-t
[/mm]
und aus Zeile 1
[mm] x_1=-x_2=t.
[/mm]
Also haben alle Eigenvektoren zum EW 3 die gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{t\\-t\\t}=t*\vektor{1\\-1\\1},
[/mm]
und damit ist [mm] \vektor{1\\-1\\1} [/mm] eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 3.
>
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]-x_{3}[/mm]
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]-x_{2}[/mm]
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]-x_{2}[/mm]
>
> hätte also normalerweise den Vektor:
Normal ist das nicht...
>
> [mm]\vektor{-x_{2} \\
-x_{3} \\
-x_{2}}[/mm] = [mm]x_{3}[/mm] * [mm]\vektor{0 \\
-1 \\
0}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] * [mm]\vektor{-1 \\
0 \\
-1}[/mm]
Nein.
Gewöhne Dir eine Systematik an.
Am besten über die ZSF, das geht schnell und man vertüddelt sich nicht leicht.
>
> Andererseits, wenn ich [mm]x_{3}[/mm] = [mm]-x_{2}[/mm] oben einsetze habe
> ich:
>
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm]
Ach!
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]-x_{2}[/mm]
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]-x_{2}[/mm]
>
> und somit:
>
> [mm]x_{2}[/mm] * [mm]\vektor{-1 \\
1 \\
-1}[/mm]
>
> Bei dem Online Rechner hat er jedoch:
>
> [mm]\vektor{1 \\
-1 \\
1}[/mm]
Das ist schnuppe.
Alle vom Nullvektor verschiedenen Vielfachen eines EVs sind auch Eigenvektoren.
LG Angela
>
> heraus! Das tut es auch, wenn man nach [mm]x_{3}[/mm] geht, aber
> wann weiß ich welches richtig ist und welches falsch?
> Durch wildes einsetzen, kann man das so Interpretieren oder
> auch andersherum, hier gibt es 3 Möglichkeiten.
>
> MFG
> Fatih
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