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| Aufgabe | Sei f ein Endomorphismus des Vektorraums [mm] \IC^{n} [/mm] über dem Körper [mm] \IC [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2 aus [mm] \IN. [/mm] Sei v [mm] \in \IC^{n} [/mm] \ {0} kein Eigenvektor von f. Richtig oder falsch.
(1) Der Fall tritt nicht ein: Jedes v [mm] \in \IC^{n} \{0} [/mm] ist Eigenvektor von f zu einem (geeigneten) Eigenwert.
(2) Wenn v ein Automorphismus ist, dann ist v eine Linearkombination von Eigenvektoren von f.
(3) Wenn f diagonalisierbar ist, dann ist v eine Linearkombination von Eigenvektoren von f. |
Hallo,
diese Aufgabe finde ich nicht so ganz greifabr. Denn die komplexen Zahlen sind in meinen Augen etwas sehr abstraktes und wollen sich mir nicht recht erschließen.
Zur ersten Aussage würde ich sagen, dass sie richtig ist. Denn ich habe in einem Buch folgenden Satz gefunden: Über [mm] K=\IC [/mm] hat jedes nicht-konstante Polynom eine Nullstelle also hat über K= [mm] \IC [/mm] jede Matrix [mm] \in Mat_{n} (\IC) [/mm] Eigenwerte. Dem zufolgte müsste die Aufgabe doch richtig sein oder?
Zu Aussage 2 habe ich keine richtige Begründung. Meine Intuition sagt mir falsch aber darauf soll man sich bekanntlich nicht verlassen. Gibt es hierzu auch eine etwas standfestere Begründung? Ein Automorphismus ist ja ein Isomorphismus auf sich selbst. aber wie bringt michd as hier weiter?
Bei der letzten Aussage würde ich meinen das sie wahr ist, weil diagonalisierbar bedeutet ja das es eine Basis aus Eigenvektoren gibt. Folglich müsste sich v als Linearkombination dieser Eigenvektoren darstellen lassen oder?
Die komplexen Zahlen verwirren mich voll.
LG Schmetterfee
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Hallo,
> Sei f ein Endomorphismus des Vektorraums [mm]\IC^{n}[/mm] über dem
> Körper [mm]\IC[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] 2 aus [mm]\IN.[/mm] Sei v [mm]\in \IC^{n}[/mm] \ {0}
> kein Eigenvektor von f. Richtig oder falsch.
> (1) Der Fall tritt nicht ein: Jedes v [mm]\in \IC^{n} \{0}[/mm] ist
> Eigenvektor von f zu einem (geeigneten) Eigenwert.
> (2) Wenn v ein Automorphismus ist, dann ist v eine
> Linearkombination von Eigenvektoren von f.
> (3) Wenn f diagonalisierbar ist, dann ist v eine
> Linearkombination von Eigenvektoren von f.
Diese ganzen Aussagen und tollen Voraussetzungen sollen dich bloß verwirren. Achte auf das Wesentliche, und das, was du sicher weißt.
> Zur ersten Aussage würde ich sagen, dass sie richtig ist.
> Denn ich habe in einem Buch folgenden Satz gefunden: Über
> [mm]K=\IC[/mm] hat jedes nicht-konstante Polynom eine Nullstelle
> also hat über K= [mm]\IC[/mm] jede Matrix [mm]\in Mat_{n} (\IC)[/mm]
> Eigenwerte. Dem zufolgte müsste die Aufgabe doch richtig
> sein oder?
Nein. Hier musst du den wichtigen Unterschied zwischen algebraischer und geometrischer Vielfachheit eines Eigenwerts beachten.
Weil wir in [mm] \IC [/mm] sind, hat jede nxn-Matrix / Abb. f wirklich n (nicht notwendig verschiedene) Eigenwerte. Aber: Das bedeutet nicht automatisch, dass auch die geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte mit den algebraischen übereinstimmen.
Das bedeutet: Es ist oft so, dass es trotzdem (auch in [mm] \IC [/mm] ) keine Basis von V aus Eigenvektoren gibt. Genau das wird aber im Grunde in Aufgabe (1) behauptet.
(Überlege dir, warum!)
> Zu Aussage 2 habe ich keine richtige Begründung. Meine
> Intuition sagt mir falsch aber darauf soll man sich
> bekanntlich nicht verlassen. Gibt es hierzu auch eine etwas
> standfestere Begründung? Ein Automorphismus ist ja ein
> Isomorphismus auf sich selbst. aber wie bringt michd as
> hier weiter?
Damit die Aussage gilt, müssten Automorphismen immer diagonalisierbar sein (siehe (1)).
Dies ist im Allgemeinen NICHT der Fall. (Die Darstellungmatrix eine Automorphismus ist eine nxn-Matrix, die regulär ist - schön wär's wenn jede solche Matrix diagonalisierbar wäre.)
Also: Finde eine reguläre Matrix in [mm] \IC, [/mm] die nicht diagonalisierbar ist.
> Bei der letzten Aussage würde ich meinen das sie wahr ist,
> weil diagonalisierbar bedeutet ja das es eine Basis aus
> Eigenvektoren gibt. Folglich müsste sich v als
> Linearkombination dieser Eigenvektoren darstellen lassen
> oder?
Darüber brauchen wir jetzt nicht mehr zu reden, oder?
Siehe (1): Wenn f diagonalisierbar, gibt es eine Basis aus Eigenvektoren.
Grüße,
Stefan
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> Hallo,
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> > Sei f ein Endomorphismus des Vektorraums [mm]\IC^{n}[/mm] über dem
> > Körper [mm]\IC[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] 2 aus [mm]\IN.[/mm] Sei v [mm]\in \IC^{n}[/mm] \ {0}
> > kein Eigenvektor von f. Richtig oder falsch.
> > (1) Der Fall tritt nicht ein: Jedes v [mm]\in \IC^{n} \{0}[/mm]
> ist
> > Eigenvektor von f zu einem (geeigneten) Eigenwert.
> > (2) Wenn v ein Automorphismus ist, dann ist v eine
> > Linearkombination von Eigenvektoren von f.
> > (3) Wenn f diagonalisierbar ist, dann ist v eine
> > Linearkombination von Eigenvektoren von f.
>
> Diese ganzen Aussagen und tollen Voraussetzungen sollen
> dich bloß verwirren. Achte auf das Wesentliche, und das,
> was du sicher weißt.
>
> > Zur ersten Aussage würde ich sagen, dass sie richtig ist.
> > Denn ich habe in einem Buch folgenden Satz gefunden: Über
> > [mm]K=\IC[/mm] hat jedes nicht-konstante Polynom eine Nullstelle
> > also hat über K= [mm]\IC[/mm] jede Matrix [mm]\in Mat_{n} (\IC)[/mm]
> > Eigenwerte. Dem zufolgte müsste die Aufgabe doch richtig
> > sein oder?
>
> Nein. Hier musst du den wichtigen Unterschied zwischen
> algebraischer und geometrischer Vielfachheit eines
> Eigenwerts beachten.
> Weil wir in [mm]\IC[/mm] sind, hat jede nxn-Matrix / Abb. f
> wirklich n (nicht notwendig verschiedene) Eigenwerte. Aber:
> Das bedeutet nicht automatisch, dass auch die geometrischen
> Vielfachheiten der Eigenwerte mit den algebraischen
> übereinstimmen.
>
> Das bedeutet: Es ist oft so, dass es trotzdem (auch in [mm]\IC[/mm]
> ) keine Basis von V aus Eigenvektoren gibt. Genau das wird
> aber im Grunde in Aufgabe (1) behauptet.
>
> (Überlege dir, warum!)
>
Das verstehe ich leider trotzdem noch nicht so ganz...
> > Zu Aussage 2 habe ich keine richtige Begründung. Meine
> > Intuition sagt mir falsch aber darauf soll man sich
> > bekanntlich nicht verlassen. Gibt es hierzu auch eine etwas
> > standfestere Begründung? Ein Automorphismus ist ja ein
> > Isomorphismus auf sich selbst. aber wie bringt michd as
> > hier weiter?
>
> Damit die Aussage gilt, müssten Automorphismen immer
> diagonalisierbar sein (siehe (1)).
> Dies ist im Allgemeinen NICHT der Fall. (Die
> Darstellungmatrix eine Automorphismus ist eine nxn-Matrix,
> die regulär ist - schön wär's wenn jede solche Matrix
> diagonalisierbar wäre.)
>
> Also: Finde eine reguläre Matrix in [mm]\IC,[/mm] die nicht
> diagonalisierbar ist.
>
na das wäre dann ja z.B. [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
> > Bei der letzten Aussage würde ich meinen das sie wahr ist,
> > weil diagonalisierbar bedeutet ja das es eine Basis aus
> > Eigenvektoren gibt. Folglich müsste sich v als
> > Linearkombination dieser Eigenvektoren darstellen lassen
> > oder?
>
> Darüber brauchen wir jetzt nicht mehr zu reden, oder?
> Siehe (1): Wenn f diagonalisierbar, gibt es eine Basis aus
> Eigenvektoren.
>
dann ist meine argumentetiond och richtig oder nicht?..wenn es eine Basis gibt dann kann diese v als Linearkombination dargestellt werden.
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 14.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:24 Do 13.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> Es ist oft so, dass es trotzdem (auch in [mm]\IC[/mm]
> ) keine Basis von V aus Eigenvektoren gibt. Genau das wird
> aber im Grunde in Aufgabe (1) behauptet.
Es wird in Aussage (1) sogar noch viel mehr behauptet: Nämlich, dass sich jeder Vektor [mm] $v\in\IC^n$ [/mm] nicht nur als Linearkombination von Eigenvektoren schreiben ließe, sondern sogar selbst schon ein Eigenvektor sei.
(Für Interessierte: Man kann sich überlegen, dass dies nur dann der Fall ist, wenn f (bezüglich einer und damit jeder Basis) durch eine Matrix der Form [mm] $\lambda E_n$, $\lambda\in\IC$, [/mm] dargestellt wird.)
Viele Grüße
Tobias
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Ja, diese Matrix leistet das Gewünschte!
