Eigenwert berechnen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:11 Do 02.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die komplexen Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }. [/mm] |
So, mein erster Schritt war das charakteristische Polynom zu berechnen! Habe dann die Nullstellen berechnet und komme auf die Eigenwerte [mm] \lambda= \pm [/mm] i.
Doch ich habe mehrmals jetzt versucht, den Eigenvektor zu bestimmen! Komme jedoch nicht auf die Lösung!
Kann mir jemand helfen?
MfG
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Do 02.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert $i$, wobei $x,y [mm] \in \IC$ [/mm] D.h:
[mm] $\pmat{ i & -1 \\ 1 & i }\vektor{x \\ y} [/mm] = 0$
Das führt auf das LGS
$ix-y=0$
$x+iy=0$.
Dieses LGS hat die Lösung [mm] \vektor{x \\ y}= \alpha\vektor{i \\ -1}, [/mm] wobei [mm] \alpha \in \IC.
[/mm]
Kommst Du jetzt mit dem Eigenwert $-i$ klar ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 Do 02.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
Wie kommst auf $ [mm] \pmat{ i & -1 \\ 1 & i }\vektor{x \\ y} [/mm] = 0 $ ?
Der erste Schritt ist doch auf der Diangonalen den Eigenwert subtrahieren und dann das LGS lösen!?! Oder versteh ich das falsch?
Karl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 Do 02.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei
$A = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }$ [/mm] und [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $i$.
Dann gilt:
[mm] $(iE-A)\vektor{x \\ y}= \vektor{0 \\ 0}$, [/mm] wobei $E$ die Einheitsmatrix ist.
Es ist
$(iE-A) = [mm] \pmat{ i & -1 \\ 1 & i }$ [/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:57 Do 02.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
Ahhhhhh, wunderbar! Okay, reicht mir!
Dank dir!
Karl
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