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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwert bestimmen
Eigenwert bestimmen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:54 So 11.01.2015
Autor: kolja21

Aufgabe
Zeigen oder wiederlegen Sie für A [mm] \in \IR^{n*n}: [/mm]
a) ist det(A)=0 so hat A einen reellen Eigenwert
b) ist det(A) [mm] \not= [/mm] 0 so hat A einen reellen Eigenwert

Mit konkreten Beispielen finde ich bzw. Wolfram Alpha zu beiden Matrizen-Arten einen reellen Eigenwert. Der Unterschied ist nur, wenn det=0 ist, dann ist mindestens 1 Eigenwert eine 0. Aber selbst Null ist eine reelle Zahl.
Kann ich davon ausgehen, dass beide Aussagen stimmen? und wie beweise ich das?

        
Bezug
Eigenwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:26 So 11.01.2015
Autor: andyv

Hallo,

wenn [mm] $\det [/mm] A =0$, dann gibt es ein $x [mm] \in \mathbb{R}^n$ [/mm] mit $Ax=0$, also hat A einen reellen Eigenwert, nämlich 0, wie du ja schon festgestellt hast.
Ist die Matrix A dagegen invertierbar, muss sie keinen reellen Eigenwert besitzen.

Liebe Grüße

Bezug
                
Bezug
Eigenwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:33 Mo 12.01.2015
Autor: kolja21

Das erschließt sich mir noch nicht. Die Formel zur Bestimmung von Eigenwerten lautet ja: [mm] A*\nu [/mm] = [mm] \lambda*v [/mm] bzw. umgeformt: [mm] (A-\lambda*I)*v=0 [/mm]
Hierbei muss [mm] det(A-\lambda*I)=0 [/mm] sein, damit die Gleichung funktioniert.
Wieso muss eine invertierbare Matrix keine Eigenwerte haben? Heißt es, es gibt Matrizen ohne Eigenwerte? Kannst du mir ein Beispiel oder sowas geben?

Bezug
                        
Bezug
Eigenwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:54 Mo 12.01.2015
Autor: fred97


> Das erschließt sich mir noch nicht. Die Formel zur
> Bestimmung von Eigenwerten lautet ja: [mm]A*\nu[/mm] = [mm]\lambda*v[/mm]
> bzw. umgeformt: [mm](A-\lambda*I)*v=0[/mm]
>  Hierbei muss [mm]det(A-\lambda*I)=0[/mm] sein, damit die Gleichung
> funktioniert.
>  Wieso muss eine invertierbare Matrix keine Eigenwerte
> haben? Heißt es, es gibt Matrizen ohne Eigenwerte? Kannst
> du mir ein Beispiel oder sowas geben?

A ist eine reelle $n [mm] \times [/mm] n$ - Matrix. Sei p ihr char. Polynom, also

   $p(t)=det(A-t*I)$.

Es gilt: [mm] t_0 \in \IR [/mm] ist ein Eigenwert von A  [mm] \gdw p(t_0)=0. [/mm]

1. ist det(A)=0, so ist p(0)=0, [mm] t_0=0 [/mm] ist also ein reeller Eigenwert von A.

2. ist det(A) [mm] \ne [/mm] 0, so hat A i.a. keine rellen Eigenwerte.

Beispiel: [mm] A=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0}, [/mm]

hier ist [mm] p(t)=t^2+1 [/mm] . A hat komplexe Eigenwerte (welche ?), aber keine reellen.

FRED

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