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Eigenwert/cg-Verfahren: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:00 Di 11.07.2017
Autor: knowhow

Aufgabe 1
Aufgabe 1: Gegeben sei die Matrix

[mm] A=\pmat{ 3 & 0&2 \\ 0 & 5&0\\2&0&3 } [/mm]

a) Argumentiern Sie mithilfe des Satzes von Gershgorin, dass für die EW [mm] \lambda_A [/mm] von A gilt:

[mm] \lambda_A \in [/mm] [1,5]

b) Zur genaueren Bestimmung der EW soll nun der QR-Algorithmus mit einfachem Shift herangezogen werden. Führe von Hand zwei Iterationen dieses Verfahren für A durch. Was können Sie über die Konvergenz des Algorithmus in diesem speziellen Fall aussagen?


Aufgabe 2
Gegeben sei eine Funktion [mm] f:\IR^6\rightarrow \IR [/mm] via

[mm] f(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=\bruch{3}{2}x^2_1+\bruch{5}{2}x^2_2+\bruch{3}{2}x_3^2+2x_1x_3+3x_4^2+5x^2_5+3x_6^2+4x_4x_6-10x_2-20x_5+30, [/mm] deren Minimum mithilfe des cg-Verfahren gefunden werden soll. Ermitteln Sie hierzu bis auf eine Nachkommastellen genau die vierte Iterierte zum Startwert [mm] (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)^T=(1,10,0,2,20,0) [/mm]

Hinweis: Aufgabe 1a)


Hallo,

ich verzeifel fast an diesen Aufgaben und ich hoffe daher, dass ihr mir etwas weiterhelfen könntet.

zu Aufg.1 a)

Der Satz von Gershgorin ist folgend def.:

[mm] K_i=\{\mu\in\IC: |\mu-a_{i,i}| \le \summe_{k\not=i} |a_{i,k}|\} [/mm]

also erhalten wir für [mm] K_1=\{\mu\in\IC: |\mu-3| \le 2\}=[1,5] [/mm]

[mm] K_2=\{\mu\in\IC: |\mu-5| \le 0 \}=[5,5] [/mm]

[mm] K_3=\{\mu\in\IC: |\mu-5| \le 0\}=[1,5] [/mm]

also ist [mm] K_1\cup K_2\cup K_3=[1,5]\cup[5,5]\cup[1,5]=[1,5] [/mm]

Da sich die Kreise berühren, liefert der Kreissatz von Gershgorin, dass alle 3 EWe im Intervall [1,5] liegen.

b) Es sei [mm] A_\mu*I, [/mm] wobei [mm] \mu=a_{33}=3. [/mm] Also haben wir

[mm] A_\mu*I=\pmat{ 3 & 0&2 \\ 0 & 5&0\\2&0&3 }-\pmat{ 3 & 0&0 \\ 0 & 3&0\\0&0&3 }=\underbrace{\pmat{ 0 & 0&2 \\ 0 & 2&0\\2&0&0 }}_{\tilde{A}} [/mm]

[mm] \alpha_1=-2, u_1=\bruch{\vektor{0 \\ 0\\2}+\vektor{2 \\ 0\\0}}{||\vektor{0 \\ 0\\2}+\vektor{2 \\ 0\\0}||}=\bruch{1}{\wurzel{8}}\vektor{2\\0\\2} [/mm]

[mm] Q=I-2u_1u_1^T=\pmat{ 0 & 0&-1 \\ 0 & 1&0\\1&0&0 } [/mm]

[mm] Q\tilde{A}=\underbrace{\pmat{ -2 & 0&0 \\ 0 & 2&0\\0&0&2 }}_{=:R} [/mm]

[mm] A^{(1)}=RQ+\mu*I=\pmat{ 3 & 0&2 \\ 0 & 5&0\\2&0&3 } [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] man erhält somit die Ursprungsmatrix

[mm] \Rtightarrow [/mm] für symmetr. Matrix gibt QR mit Shift keine Aussage über EW.

Stimmt soweit, meine Überlegung zu Aufgabe 1?

Aufg.2

man schreibe f in Matrix. Also erhalten wir:

[mm] f(...)=\bruch{1}{2}x^t\pmat{ 3 & 0&2 &0&0&0\\ 0 & 5&0&0&0&0\\2&0&3 &0&0&0\\0&0&0&6&0&4\\0&0&0&0&10&0\\0&0&0&4&0&2}x-(0,10,0,0,20,0)x+30 [/mm]

Nun bin ich nach den folgenden Schritten vorangegangen: cg-Verfahren

Vor.: [mm] f(x)=\bruch{1}{2}x^TAx-bx+c [/mm] spd, [mm] \nabla [/mm] f(x)=Ax-b

Start: Wähle [mm] x_0 [/mm] und setze in [mm] r_0=-\nabla f(x_0) [/mm]

also erhalten wir wenn wir den Startwert aus der Aufgabenstellung in [mm] \nabla [/mm] f(x) mit minus einsetzen

[mm] r_0=(-3,-40,-2,-12,-180,-8)^T [/mm]

1. Schritt : da [mm] \nabla f(x_0)\not=0 [/mm] ist, müssen wir weitermachen.

2. Schritt

setze [mm] x_{k+1}:=x_k+\alpha_k*r_k, [/mm] wobei [mm] \alpha=\bruch{||\nabla f(x_k)||^2}{||r_k||_A^2} [/mm]

also in unserem Fall: Ab da wird die Rechnung unschön

also erhalten wir für [mm] \alpha_0=\bruch{r_0^T*r_0}{r_0^T*A*r_0}=\bruch{34.221}{3.295.081}=0,0104 [/mm]

dann bekommen wir für [mm] x_1=\vektor{0,9688\\9,584\\-0,0208\\1,8752\\18,128\\-0,0832} [/mm]

falls ich mich nicht verrechnet habe, was durchaus passiert ist.

Ab da habe ich es aufgegeben weiterzurechnen, da ich wahrscheinlich bis morgen noch dransitzen würde und das für 4 Iterationen, wobei ich die 1. Iteration nicht zuende berechnet bekommen habe aufgrund der unschönen Zahlen.

Dann müssen noch folgende Schritte berechnet werden:

3. Schritt Berechne

[mm] r_{k+1}=-\nabla f(x_{k+1})+\beta_k*r_k, [/mm] wobei [mm] \beta_k=\bruch{||\nabla f(x_{k+1}||^2}{||\nablaf(x_k)||^2} [/mm]

4. Schritt: gehe zu Schritt 1

Mit den Hinweis wissen wir nur, dass die Matrix aus Aufg 1) a) in der Matrix A enthalten ist, somit müssen deren EW in [1,5] liegen. Aber in wie fern bringt mir diese Information weiter.

Gibt es da einen etwas schöneren Weg?

Ich hoffe, Ihr könnt mir da wirklich weiterhelfen.

Vielen Dank im Voraus.



        
Bezug
Eigenwert/cg-Verfahren: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Sa 15.07.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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