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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Do 07.05.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
| Aufgabe | Im [mm] \IR [/mm] - Vektorraum aller Abb. von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] betrachtet man den von den Fkt. f(x) = [mm] e^{x} [/mm] , g(x) = [mm] xe^{x} [/mm] , h(x) = [mm] e^{-x} [/mm] aufgespannten Unterraum V = [mm] \IR [/mm] f + [mm] \IR [/mm] g + [mm] \IR [/mm] h und den Endomorphismus
[mm] \alpha [/mm] : V [mm] \to [/mm] V , F [mm] \mapsto [/mm] F' (Differentation) von V.
Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenräume von [mm] \alpha [/mm] |
Hallo, ich steh da voll auf dem Schlauch. Mir ist klar wie man Eigenwerte berechnet, aber die Abbildung müsste ich ja irgendwie als Matrix hinschreiben, wie soll denn das gehen? Ich habe [mm] \alpha [/mm] mal abgeleitet, aber bringt mir das was?
Danke für eure Hilfe.
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Hallo SEBBI001,
> Im [mm]\IR[/mm] - Vektorraum aller Abb. von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR[/mm] betrachtet
> man den von den Fkt. f(x) = [mm]e^{x}[/mm] , g(x) = [mm]xe^{x}[/mm] , h(x) =
> [mm]e^{-x}[/mm] aufgespannten Unterraum V = [mm]\IR[/mm] f + [mm]\IR[/mm] g + [mm]\IR[/mm] h
> und den Endomorphismus
> [mm]\alpha[/mm] : V [mm]\to[/mm] V , F [mm]\mapsto[/mm] F' (Differentation) von V.
> Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenräume von [mm]\alpha[/mm]
> Hallo, ich steh da voll auf dem Schlauch. Mir ist klar wie
> man Eigenwerte berechnet, aber die Abbildung müsste ich ja
> irgendwie als Matrix hinschreiben, wie soll denn das gehen?
> Ich habe [mm]\alpha[/mm] mal abgeleitet, aber bringt mir das was?
Du brauchst die Darstellungsmatrix der Abbildung
Es ist [mm] $\{f,g,h\}$ [/mm] eine Basis von $V$ (wieso?)
Wie berechnet man die Darstellungsmatrix bzgl. dieser Basis?
Indem man die Basisvektoren abbildet und als LK der Basisvektoren des Zielraumen (ebenfalls V) darstellt.
Die Koeffizienten in diesen LKen stopfe als Spalten in die gesuchte Matrix.
1. Spalte:
es ist [mm] $\alpha\left(e^x\right)=e^x=\red{1}\cdot{}e^x+\red{0}\cdot{}xe^x+\red{0}\cdot{}e^{-x}$
[/mm]
Also ergibt sich für die erste Spalte der Darstellungsmatrix: [mm] $\vektor{\red{1}\\\red{0}\\\red{0}}$
[/mm]
Analog für die anderen beiden Basisvektoren
Alles weitere wie üblich an der Darstellungsmatrix untersuchen ...
Auch hier gilt: poste Rechnunge für konkrete Rückfragen ...
> Danke für eure Hilfe.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Fr 08.05.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
Ich habe nun die Eigenwerte berechnet, sie lauten 1 und -1. Das char. Polynom ist [mm] (\lambda [/mm] - [mm] 1)^{2} [/mm] (- [mm] \lambda [/mm] - 1).
Wie kann ich daraus jetzt die Eigenräume berechnen?
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> Ich habe nun die Eigenwerte berechnet, sie lauten 1 und -1.
> Das char. Polynom ist [mm](\lambda[/mm] - [mm]1)^{2}[/mm] (- [mm]\lambda[/mm] - 1).
> Wie kann ich daraus jetzt die Eigenräume berechnen?
Hallo,
ein bißchen schöner wär's ja, hättest Du Deine Matrix mitgepostet.
Sei A die Darstellungsmatrix.
Es ist Eig(1)=Kern(A-1*E) und Eig(-1)=Kern(A-(-1)*E). (E ist die Einheitsmatrix.)
Bei den Basisvektoren, die Du erhältst, mußt Du natürlich bedenken, daß sie Koordinatenvektoren bzgl. (f,g,h) sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Fr 08.05.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
Die Matrix ist [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }.
[/mm]
> Sei A die Darstellungsmatrix.
>
> Es ist Eig(1)=Kern(A-1*E) und Eig(-1)=Kern(A-(-1)*E).
> (E ist die Einheitsmatrix.)
>
Wenn ich da die Eigenräume so berechne komme ich schon beim Hinschreiben auf eine Nullzeile, nämlich [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 } [/mm] hier in der 2. Zeile. Was heißt das für die Eigenräume? Der Kern muss ja auf 0 abbilden. Das würde ja bedeuten, dass x3 und x2 ja 0 sein müssen, da ja sonst die Bilder nicht 0 werden können, man aber x1 beliebig wählen kann. Ist das richtig so und wäre dann die Basis [mm] \vektor{ x \\ 0 \\ 0} [/mm] ?
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> Die Matrix ist [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }.[/mm]
>
>
> > Sei A die Darstellungsmatrix.
> >
> > Es ist Eig(1)=Kern(A-1*E) und Eig(-1)=Kern(A-(-1)*E).
> > (E ist die Einheitsmatrix.)
> >
> Wenn ich da die Eigenräume so berechne komme ich schon beim
> Hinschreiben auf eine Nullzeile, nämlich [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 }[/mm]
> hier in der 2. Zeile. Was heißt das für die Eigenräume? Der
> Kern muss ja auf 0 abbilden. Das würde ja bedeuten, dass x3
> und x2 ja 0 sein müssen, da ja sonst die Bilder nicht 0
> werden können, man aber x1 beliebig wählen kann. Ist das
> richtig so und wäre dann die Basis [mm]\vektor{ x \\ 0 \\ 0}[/mm] ?
Hallo,
es wäre der [mm] Kern=\{\vektor{ x \\ 0 \\ 0}| x\in \IR\}
[/mm]
Eine Basis von Kern(A-1*E) ist z.B. [mm] \vektor{ 1 \\ 0 \\ 0}. [/mm] ( Oder nach Belieben auch [mm] \vektor{ 4711 \\ 0 \\ 0}.)
[/mm]
Nun muß man bedenken, daß [mm] \vektor{ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] ja ein Koordinatenvektor bzgl (f,g,h) ist.
Somit ist [mm] e^x [/mm] eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 1.
Gruß v. Angela
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