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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Mi 10.12.2014 | | Autor: | redox |
| Aufgabe | Gib für folgende 3x3 Matrizen das charakteristisches Polynom an. Welche Eigenwerte hat A?
a) A= Einheitsmatrix
b) A= Diagonalmatrix mit d1..d3
c) A= Obere Dreiecksmatrix mit (aik=0 für i>k) |
Hallo!
Ich sehe mich hier vor einer Aufgabe, die ich nicht mehr als Ansatzweise lösen kann.
In den Vorlesungen haben wir dieses Thema mit hohem Tempo bewältigt wodurch ich recht unsicher dabei bin,und leider auch nicht für derartige Sonderfälle.
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen!
Meine Ideen zu a)
Habe ich aus der [mm] det\pmat{ 1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1- \lambda } [/mm] erhalten (1- [mm] \lambda)\*(1-\lambda)\*(1- \lambda) [/mm] was somit (1- [mm] \lambda)^{3} [/mm] ist (?)
Liege ich richtig mit der Annahme das (1- [mm] \lambda)\*(1-\lambda)\*(1- \lambda) [/mm] mein Polynom ist? Bzw. ist der Ansatz soweit überhaupt korregt.
Bei den weiterfolgenden Aufgaben b) & c) habe ich leider keinen Ansatz.
Mit freundlichem Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo redox,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gib für folgende 3x3 Matrizen das charakteristisches
> Polynom an. Welche Eigenwerte hat A?
> a) A= Einheitsmatrix
> b) A= Diagonalmatrix mit d1..d3
> c) A= Obere Dreiecksmatrix mit (aik=0 für i>k)
> Hallo!
> Ich sehe mich hier vor einer Aufgabe, die ich nicht mehr
> als Ansatzweise lösen kann.
> In den Vorlesungen haben wir dieses Thema mit hohem Tempo
> bewältigt wodurch ich recht unsicher dabei bin,und leider
> auch nicht für derartige Sonderfälle.
> Ich hoffe Ihr könnt mir helfen!
>
> Meine Ideen zu a)
> Habe ich aus der [mm]det\pmat{ 1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1- \lambda }[/mm]
> erhalten (1- [mm]\lambda)\*(1-\lambda)\*(1- \lambda)[/mm] was somit
> (1- [mm]\lambda)^{3}[/mm] ist (?)
>
> Liege ich richtig mit der Annahme das (1-
> [mm]\lambda)\*(1-\lambda)\*(1- \lambda)[/mm] mein Polynom ist? Bzw.
> ist der Ansatz soweit überhaupt korregt.
Ja, der Ansatz ist korrekt.
> Bei den weiterfolgenden Aufgaben b) & c) habe ich leider
> keinen Ansatz.
Es ist doch sicher bekannt, wie eine Diagonalmatrix
bzw. eine obere Dreiecksmatrix aussieht.
> Mit freundlichem Gruß
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mi 10.12.2014 | | Autor: | redox |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Hilfestellung!
Okay, dann wäre die Eigenwerte für A=E also [mm] \lambda(1,2,3)=1 [/mm]
Ja, dass ist mir bekannt.
Dazu hatte ich auch vorhins schon eine Überlegung aber kam nicht so recht weiter, aber mir ist dabei nun gerade folgendes eingefallen:
D = [mm] \pmat{ d1 & 0 & 0 \\ 0 & d2 & 0 \\ 0 & 0 & d3}
[/mm]
det D= [mm] \pmat{ d1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & d2 -\lambda & 0 \\ 0 & 0 & d3- \lambda}
[/mm]
= [mm] (d1-\lambda) (d2-\lambda) (d3-\lambda) [/mm] (=Polynom?)
Woraus folgen würde das [mm] \lambda1= [/mm] d1 [mm] \lambda2= [/mm] d2 & [mm] \lambda3=d3 [/mm] ist.
Stimmt dies?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Mi 10.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> vielen Dank für die schnelle Hilfestellung!
> Okay, dann wäre die Eigenwerte für A=E also
> [mm]\lambda(1,2,3)=1[/mm]
ja, [mm] $\lambda_{1,2,3}=1$ [/mm] oder sowas schreibt man wohl eher!
> Ja, dass ist mir bekannt.
> Dazu hatte ich auch vorhins schon eine Überlegung aber
> kam nicht so recht weiter, aber mir ist dabei nun gerade
> folgendes eingefallen:
>
> D = [mm]\pmat{ d1 & 0 & 0 \\ 0 & d2 & 0 \\ 0 & 0 & d3}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> det D= [mm]\pmat{ d1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & d2 -\lambda & 0 \\ 0 & 0 & d3- \lambda}[/mm]
Kleiner Fehler: Du meinste [mm] $\det(\red{D-\lambda*E})$ [/mm] ( mit [mm] $E=\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}$)
[/mm]
> = [mm](d1-\lambda) (d2-\lambda) (d3-\lambda)[/mm] (=Polynom?)
Genau - und es ist das Polynom, nennen wir es [mm] $p\,,$ [/mm] dann [mm] $p=p(\lambda)$! [/mm] Natürlich
kannst Du es auch noch in die "übliche" Form bringen, was ich aber eher
schlecht finden würde. Aber wer weiß, was der Aufgabensteller sehen
will...
> Woraus folgen würde das [mm]\lambda1=[/mm] d1 [mm]\lambda2=[/mm] d2 &
> [mm]\lambda3=d3[/mm] ist.
Ja, denn die Eigenwerte [mm] $\uwave{\lambda}$ [/mm] berechnen sich aus
[mm] $\det(D-\uwave{\lambda}*E) \stackrel{!}{=}0$
[/mm]
bzw.
[mm] $p(\uwave{\lambda})\stackrel{!}{=}0\,.$
[/mm]
Zur letzten Aufgabe: Schreib' Dir wieder [mm] $\det(A-\lambda*E)$ [/mm] hin mit
[mm] $A=\pmat{a_{11} & a_{21} & a_{11} \\ 0 & a_{21} & a_{22}\\ 0 & 0 & a_{33}},$
[/mm]
es ist also
[mm] $A-\lambda*E=\pmat{a_{11}-\lambda & a_{21} & a_{11} \\ 0 & a_{22}-\lambda & a_{23}\\ 0 & 0 & a_{33}-\lambda}$
[/mm]
und das ch. P. berechnet sich aus
[mm] $p(\lambda)=\det(A-\lambda*E)=...$
[/mm]
und die Eigenwerte [mm] $\uwave{\lambda}$ [/mm] dann aus [mm] $\det(A-\uwave{\lambda}*E)\stackrel{!}{=}0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Mi 10.12.2014 | | Autor: | redox |
Vielen Dank!
Super hilfreich :)
Ich wünsche noch einen schönen Abend!
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Mi 10.12.2014 | | Autor: | redox |
Ich hätte doch noch Abschließend zwei kurze Fragen..
Und zwar zum Polynom [mm] p\,, [/mm]
Was wäre denn die übliche Form? Dies will sich mir gerade nicht ganz erschließen. Ist es quasi [mm] p(\lambda) [/mm] ?
Wie würde das dann aussehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Mi 10.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich hätte doch noch Abschließend zwei kurze Fragen..
>
> Und zwar zum Polynom [mm]p\,,[/mm]
> Was wäre denn die übliche Form? Dies will sich mir gerade
> nicht ganz erschließen. Ist es quasi [mm]p(\lambda)[/mm] ?
ja, [mm] $p=p(\lambda)$, [/mm] wie Physiker gerne schreiben. Was ich meinte, ist, dass Du
[mm] $p(\lambda)=(d_1-\lambda)*(d_2-\lambda)*(d_3-\lambda)$
[/mm]
in die "übliche" Form
[mm] $p(\lambda)=\sum_{k=0}^3 a_k \lambda^k$
[/mm]
(oder [mm] $p(\lambda)=\sum_{k=0}^3 a_{3-k}\lambda^{3-k}$)
[/mm]
bringen könntest. Das wäre z.B. etwa sinnvoll, wenn man [mm] $\frac{d}{d\lambda}p(\lambda)$
[/mm]
(warum auch immer) berechnen wollte.
> Wie würde das dann aussehen?
S.o., ausmultiplizieren und sortieren.
Aber wie gesagt: Da man mit
[mm] $p(\uwave{\lambda})\stackrel{!}{=}0$
[/mm]
die Eigenwerte [mm] $\uwave{\lambda}$ [/mm] berechnet, würde es oben keinen wirklichen Sinn machen, es
sei denn, der Aufgabensteller will halt aus irgendeinem Grund diese Darstellung
des Polynoms...
Gruß,
Marcel
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