Eigenwertbestimmung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Fr 28.03.2008 | | Autor: | ronja33 |
| Aufgabe | | Eine Matrix [mm] A\in M(3x3,\IC) [/mm] habe Spur (A)=1, Determinante det(A)=8 und drei verschiedene Eigenwerte [mm] \lambda1, \lambda2, \lambda3\in \IZ. [/mm] Allein aus diesen Informationen kann man die Eigenwerte bestimmen. Wie? Was sind ihre Werte? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
hänge an dieser Aufgabe fest. In meinem Skript steht folgende Formel:
P(t)= [mm] t^n [/mm] -(a11 +a22+...amn)t^(n-1) + (...)t^(n-2)+...+8..)t [mm] +(-1)^n [/mm] detA
Bin mir jetzt nicht sicher, ob ich das richtig eingesetzt habe, da mir unklar ist, was für (...) eingesetzt werden soll. Ich habe hierfür die Spur verwendet. (da man ja sonst auch nichts anderes mehr gegeben hat)
= [mm] t^n-1*t^{n-1} [/mm] +1*t^(n-2) +t [mm] (-1)^n [/mm] *detA
= [mm] t^3 -t^2+t [/mm] -8
Da aber die Lösung hierfür nicht ganzzahlig wäre, habe ich das Gefühl einen Fehler gemacht zu haben.
Vielen Dank im Vorraus!!!!!!
Liebe Grüße
ronja33
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Hallo ronja33,
> Eine Matrix [mm]A\in M(3x3,\IC)[/mm] habe Spur (A)=1, Determinante
> det(A)=8 und drei verschiedene Eigenwerte [mm]\lambda1, \lambda2, \lambda3\in \IZ.[/mm]
> Allein aus diesen Informationen kann man die Eigenwerte
> bestimmen. Wie? Was sind ihre Werte?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
>
> hänge an dieser Aufgabe fest. In meinem Skript steht
> folgende Formel:
>
> P(t)= [mm]t^n[/mm] -(a11 +a22+...amn)t^(n-1) +
> (...)t^(n-2)+...+8..)t [mm]+(-1)^n[/mm] detA
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> Bin mir jetzt nicht sicher, ob ich das richtig eingesetzt
> habe, da mir unklar ist, was für (...) eingesetzt werden
> soll. Ich habe hierfür die Spur verwendet. (da man ja sonst
> auch nichts anderes mehr gegeben hat)
>
> = [mm]t^n-1*t^{n-1}[/mm] +1*t^(n-2) +t [mm](-1)^n[/mm] *detA
> = [mm]t^3 -t^2+t[/mm] -8
>
> Da aber die Lösung hierfür nicht ganzzahlig wäre, habe ich
> das Gefühl einen Fehler gemacht zu haben.
Da die Lösungen ganzzahlig sein sollen, probiere alle Teiler von 8 aus, auch die negativen Teiler.
Weil [mm]P\left(t\right)=\left(t-\lambda_{1}\right)*\left(t-\lambda_{2}\right)*\left(t-\lambda_{3}\right)[/mm] gilt, lassen sich spur(A) und det(A) auch mit Hilfe der Eigenwerte ausdrücken.
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> Vielen Dank im Vorraus!!!!!!
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> Liebe Grüße
>
> ronja33
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>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Fr 28.03.2008 | | Autor: | ronja33 |
Vielen Dank für die schnell Antwort!
Sorry, leider steh' ich total auf dem Schlauch
Stimmt diese Gleichung also doch?
Ich habe meiner Meinung nach alle Teiler von 8 ausprobiert und wenn ich sie in mein Matheprogramm eingebe, kommt auch nichts ganzzahliges heraus.
Wie könnte ich mir der Formel [mm] P(t)=(t-\lambda1)*(t-\lambda2)*(t-\lambda3) [/mm] die Determinante und die Spur berücksichtigen?
Grüße
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Hallo ronja33,
> Vielen Dank für die schnell Antwort!
> Sorry, leider steh' ich total auf dem Schlauch
> Stimmt diese Gleichung also doch?
> Ich habe meiner Meinung nach alle Teiler von 8 ausprobiert
> und wenn ich sie in mein Matheprogramm eingebe, kommt auch
> nichts ganzzahliges heraus.
> Wie könnte ich mir der Formel
> [mm]P(t)=(t-\lambda1)*(t-\lambda2)*(t-\lambda3)[/mm] die
> Determinante und die Spur berücksichtigen?
Nach dem man die obige Gleichung ausmultiplziert hat, ergibt sich folgendes:
[mm]\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=\ spur(A) \ = \ 1[/mm]
[mm]\lambda_{1}*\lambda_{2}*\lambda_{3}=a_{11}*a_{22}*a_{33}= \ det(A) \ = \ 8[/mm]
Probiere dann alle ganzahligen Teiler von 8 aus:
[mm] \pm 1, \ \pm 2, \pm 4, \ \pm 8[/mm]
Dann kommst Du auf die Lösung.
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> Grüße
>
Gruß
MathePower
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