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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Eigenwerte
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Eigenwerte: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:36 Di 21.02.2017
Autor: Franzi17

Aufgabe
Sei A ∈ Matm(K) und λ ein Eigenwert von A. Zeigen Sie, dass λn ein Eigenwert von An ist f¨ur jede ganze Zahl n ≥ 1.

Hallo!
ich bräuchte bitte einen kleinen Tipp, wie ich da anfangen soll.
ich weiss, dass A v = Lambda v gelten muss. Aber ich weiss nicht, wie ich das mit den Potenzen beweisen soll.
Vielen Dank für die Hilfe!

        
Bezug
Eigenwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:40 Di 21.02.2017
Autor: Franzi17

Sei A ∈ Matm(K) und λ ein Eigenwert von A. Zeigen Sie, dass λ^n ein Eigenwert von [mm] A^n [/mm] ist für jede ganze Zahl n ≥ 1.

Tut mir leid, es haben zwei Potenzzeichen gefehlt

Bezug
        
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:40 Di 21.02.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

verwende doch bitte den Formeleditor für deine Formeln, so kann das ja kein Mensch lesen.

Du möchtest also Zeigen: ist [mm] $\lambda$ [/mm] Eigenwert von A so ist [mm] $\lambda^n$ [/mm] Eigenwert von [mm] $A^n$ [/mm] und eigentlich ist da nicht viel zu machen.

Was es bedeutet, dass [mm] $\lambda$ [/mm] Eigenwert von A ist, hast du ja bereits aufgeschreiben.
Beachte nun: $A^nv = [mm] A^{n-1}Av$ [/mm]
Wende den Schritt n-mal iterativ an oder verwende vollständige Induktion.

Gruß,
Gono

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Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:07 Mi 22.02.2017
Autor: X3nion

Hallo Franzi17,

mit dem Tipp von Gono ( [mm] A^{n}v [/mm] = [mm] A^{n-1}Av [/mm] und vollständige Induktion ) geht es ganz easy!

Zu zeigen ist folgende Behauptung: Ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A, so ist [mm] \lambda^{n} [/mm] ein Eigenwert von [mm] A^{n}, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1 bzw.

Gilt [mm] A\overrightarrow{v} [/mm] = [mm] \lambda \overrightarrow{v}, [/mm] so gilt auch [mm] A^{n} \overrightarrow{v} [/mm] = [mm] \lambda^{n} \overrightarrow{v}, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1

Induktionsanfang: n = 1

Es gilt [mm] A\overrightarrow{v} [/mm] = [mm] \lambda \overrightarrow{v}, [/mm] da gemäß Voraussetzung [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von A ist.

Induktionvoraussetzung:

[mm] A^{n} \overrightarrow{v} [/mm] = [mm] \lambda^{n} \overrightarrow{v} [/mm] gelte für ein n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1

Induktionsschritt: n -> n+1

Zu zeigen: [mm] A^{n+1} \overrightarrow{v} [/mm] = [mm] \lambda^{n+1} \overrightarrow{v} [/mm]

Es ist nun [mm] A^{n+1} \overrightarrow{v} [/mm]  = ...


jetzt du!

Viele Grüße,
X3nion

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Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:45 Mi 22.02.2017
Autor: Franzi17

Danke für die Hilfe!
Also:
[mm] A^{n+1}*v [/mm] = [mm] A^n*A*v [/mm] = [mm] A^n*L*v [/mm] = [mm] L^{n}*L*v [/mm] = [mm] L^{n+1}*v [/mm]

mit L meine ich Lambda, ich habe das Zeichen dafür nicht gefunden.

Stimmt das so? Danke!

Bezug
                
Bezug
Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Mi 22.02.2017
Autor: fred97


> Danke für die Hilfe!
>  Also:
> [mm]A^{n+1}*v[/mm] = [mm]A^n*A*v[/mm] = [mm]A^n*L*v[/mm] = [mm]L^{n}*L*v[/mm] = [mm]L^{n+1}*v[/mm]
>
> mit L meine ich Lambda, ich habe das Zeichen dafür nicht
> gefunden.
>  
> Stimmt das so?

Falsch ist das nicht, aber besser wäre:

[mm] A^{n+1}v=A^n(Av)=A^n(Lv)=LA^nv=L*L^nv=L^{n+1}v, [/mm]

wobei das vorletzte "=" mit der Induktionvor. folgt.




> Danke!


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