Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Do 12.07.2007 | | Autor: | cutter |
| Aufgabe | Hallo ich soll zeigen, dass [mm] \det(A) \geq [/mm] 0 . Wobei
[mm] A=\begin{pmatrix}\cos(x_1-x_1)& \cos(x_2-x_1)... & \cos(x_n-x_1) \\\cos(x_1-x_2) & \cos(x_2-x_2) ...& \cos(x_2-x_n) \\.\\.\\ \cos(x_1-x_n) &\cos(x_2-x_n) ...& \cos(x_n-x_n) \end{pmatrix} [/mm]
[mm] x_i [/mm] sind in R.
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Die Matrix ist ja symmetrisch, nun koennt ich ja zeigen ,dass die Eigenwerte der Matrix A alle größer oder gleich 0 sind. Daraus wuerde die Definitheit folgen.
Wie berechne oder erkenne ich hier die Eigenwerte? (War der Tipp)
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> Hallo ich soll zeigen, dass [mm]\det(A) \geq[/mm] 0 . Wobei
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> [mm]A=\begin{pmatrix}\cos(x_1-x_1)& \cos(x_2-x_1)... & \cos(x_n-x_1) \\\cos(x_1-x_2) & \cos(x_2-x_2) ...& \cos(x_2-x_n) \\.\\.\\ \cos(x_1-x_n) &\cos(x_2-x_n) ...& \cos(x_n-x_n) \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]x_i[/mm] sind in R.
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> Die Matrix ist ja symmetrisch, nun koennt ich ja zeigen
> ,dass die Eigenwerte der Matrix A alle größer oder gleich 0
> sind. Daraus wuerde die Definitheit folgen.
> Wie berechne oder erkenne ich hier die Eigenwerte? (War
> der Tipp)
Hallo,
auf einen Blick sehe ich nur, daß die Summe der Eigenwerte=n ist (Spur), also >0.
Ich würde jetzt zunächst experimentell arbeiten, die Eigenwerte für n=2, n=3 und n=4 bestimmen und versuchen, daraus eine Regel abzuleiten.
Hm. Wenn ich es recht verstehe, ist die Hauptfrage die nach der Definitheit und nicht nach der Determinante.(?)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Do 12.07.2007 | | Autor: | cutter |
Hallo
Was ich beweisen soll ist , dass det(A) [mm] \geq [/mm] 0.
Nun wurde uns als Tipp gesagt ,dass wir mit den Eigenwerten und der Definitheit an die Aufgabe rangehen sollen.
Aus den Algebra Vorlesungen ist aufjeden Fall noch haengen geblieben ,dass detA [mm] \geq [/mm] 0 äquivalent zu der Aussage , die Matrix ist (semi) positiv definit.
Und da uns der Tipp mit den Eigenwerten gegeben wurde, denke ich wir sollen A auf Definitheit untersuchen :)
Aber Eigenwerte bestimmen ist schon rech lange her und ich dachte man kann das irgenwie schnell sehen oder so ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Do 12.07.2007 | | Autor: | cutter |
Hi
Ich hab auch noch eine Mitteilung geschrieben. :)
Also fuer n=2 kommen die Eigenwerte
[mm] \lambda_1=\cos(x_1-x_2)+1
[/mm]
[mm] \lambda_2=-\cos(x_1-x_2)+1 [/mm] und diese sind beide [mm] \geq [/mm] 0
bei n=3 wird das ganze schon ein wenig lustiger...da bin ich noch nicht ganz durch ...wird aber auch zunehmend undurchsichtiger
Grüße
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> Hi
> Ich hab auch noch eine Mitteilung geschrieben. :)
> Also fuer n=2 kommen die Eigenwerte
>
> [mm]\lambda_1=\cos(x_1-x_2)+1[/mm]
> [mm]\lambda_2=-\cos(x_1-x_2)+1[/mm]
Hallo,
wie hast Du das denn gerechnet?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Do 12.07.2007 | | Autor: | cutter |
[mm] A=\begin{pmatrix}\cos(x_1-x_1)& \cos(x_2-x_1)\\\cos(x_1-x_2) & \cos(x_2-x_2) \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] A=\begin{pmatrix}\cos(0)& \cos(x_2-x_1)\\\cos(x_1-x_2) & \cos(0) \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \det (A-\lambda E_2)= [/mm] A=det [mm] \begin{pmatrix}1-\lambda)& \cos(x_2-x_1)\\\cos(x_1-x_2) & 1-\lambda \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] (1-\lambda)^2-(cos(x_1-x_2))^2=0 [/mm] da cos (x)=cos(-x)
umformen fertig... natuerlich kommen dann 4 werte raus...aber die sollten trotzdem größer null sein
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> [mm]A=\begin{pmatrix}\cos(x_1-x_1)& \cos(x_2-x_1)\\\cos(x_1-x_2) & \cos(x_2-x_2) \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]A=\begin{pmatrix}\cos(0)& \cos(x_2-x_1)\\\cos(x_1-x_2) & \cos(0) \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\det (A-\lambda E_2)=[/mm] A=det [mm]\begin{pmatrix}1-\lambda)& \cos(x_2-x_1)\\\cos(x_1-x_2) & 1-\lambda \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm](1-\lambda)^2-(cos(x_1-x_2))^2=0[/mm] da cos (x)=cos(-x)
Himmel!!! Ich bin sooooooo doof...
Ich habe vor Begeisterung darüber, daß [mm] x_i-x_i=0 [/mm] ist, die Kleinigkeit mit dem cosinus davor mißachtet...
Von daher ist mein Gerede von der Spur, die =0 ist, natürlich der totale Unfug. Die Spur ist =n.
>
> umformen fertig... natuerlich kommen dann 4 werte
> raus...
????
Nein. Zwei. Ein Quadratisches Polynom kann doch nicht 4 Lösungen haben.
> aber die sollten trotzdem größer null sein
Größergleich. Es könnte ja [mm] x_1=x_2 [/mm] sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Do 12.07.2007 | | Autor: | cutter |
ja natuerlich die 2 loesungen, die ich angegeben habe (auch schon verwirrt ;))
Größergleich null ist auch klar.
aber bei n=3 wird das schon relativ komplex .....wie soll ich denn nun weiter vorgehen ? :) einfach weiter drauf los rechnen ?..glaube das wird nix ;)
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> ja natuerlich die 2 loesungen, die ich angegeben habe (auch
> schon verwirrt ;))
> Größergleich null ist auch klar.
> aber bei n=3 wird das schon relativ komplex .....wie soll
> ich denn nun weiter vorgehen ? :) einfach weiter drauf los
> rechnen ?..glaube das wird nix ;)
Da mir im Moment nichts anderes einfällt, würde tatsächlich erstmal so weitermachen.
Dieser "Tip" entspringt aber nicht einer Lösung, die ich bereits habe, sondern es ist wie gesagt das, was ich spontan tun würde.
Gruß v. Angela
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> ja natuerlich die 2 loesungen, die ich angegeben habe (auch
> schon verwirrt ;))
> Größergleich null ist auch klar.
> aber bei n=3 wird das schon relativ komplex .....wie soll
> ich denn nun weiter vorgehen ? :) einfach weiter drauf los
> rechnen ?..glaube das wird nix ;)
Hallo,
hast Du denn schon versucht, für n=2, n=3, n=4 die Determinante zu berechnen?
Vielleicht erkennt man da schon eine Systematik?
Du könntest versuchen, die Matrix zu einer oberen Dreiecksmatrix umzuformen und dann die Determinante berechnen - bzw. ihre Eigenwerte angucken. Ich glaube, das ist's!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Fr 13.07.2007 | | Autor: | cutter |
Ja hab ich aber eine Systematik war nicht gerade zu e rkennen..
Das ist bei mir auch schon alles ein wenig her...
Wie bringe ich die nochmal in eine Obere Dreiecksmatrix ?:)
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> Ja hab ich aber eine Systematik war nicht gerade zu e
> rkennen..
> Das ist bei mir auch schon alles ein wenig her...
> Wie bringe ich die nochmal in eine Obere Dreiecksmatrix
> ?:)
Ich meinte da jetzt nichts mit Fahnenbasis oder so, sondern schlicht und ergreifend den Gaußalgorithmus.
Wenn Du das Vielfache der einen Zeile zu anderen addierst, ändert sich ja die Determinante nicht. (Beim Vertauschen: Vorzeichenwechsel.)
Gruß v. Angela
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Hiho,
es lässt sich durch vollständige Induktion (mit nen bissl schreibarbeit, aber net schwer)zeigen, dass A positiv semidefinit ist, d.h. das gilt:
[mm] \text{ }\ge 0\text{ }\forall x \not= 0[/mm]
Daraus folgt dann direkt, dass det(A) [mm] \ge [/mm] 0.
Wenn du es so versuchen willst und nicht weiterkommst, steh ich gerne zur Verfügung.
MfG,
Gono.
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